目錄

第一章 歷史上的數(shù)學(xué)危機(jī)

  1. 什么是數(shù)學(xué)危機(jī)
  2. 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)
  3. 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學(xué)
  4. 非歐幾何學(xué)的誕生
  5. 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)

第二章 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景

  1. 數(shù)學(xué)符號化的擴(kuò)充：數(shù)理邏輯的興起
  2. 尋找數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)：集合論的創(chuàng)立
  3. 數(shù)學(xué)的公理化

第三章 悖論及其解決方案

  1. 一連串的悖論的出現(xiàn)
  2. 悖論動搖了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)
  3. 羅素的類型論
  4. 策梅羅的公理集合論

第四章 哥德爾的發(fā)現(xiàn)：意想不到的結(jié)果

  1. 哥德爾小傳
  2. 1930年數(shù)理邏輯的狀況
  3. 1930年哥德爾的兩項(xiàng)主要貢獻(xiàn)

第五章 數(shù)理邏輯的大發(fā)展

  1. 證明論
  2. 遞歸論
  3. 模型論
  4. 公理集合論

第六章 數(shù)學(xué)與哲學(xué)

  1. 邏輯主義
  2. 直覺主義
  3. 形式主義
  4. 數(shù)學(xué)與哲學(xué)

結(jié)束語

　
　

數(shù)學(xué)進(jìn)程中的三次危機(jī)

數(shù)學(xué)中過去的錯誤或者未解決的困難，是為它未來的發(fā)展提供了契機(jī)。

                                                                                                         ——E.T.Bell 

數(shù)學(xué)的永遠(yuǎn)令人神往的美貌之一就是，它的艱難的悖論是以栩栩生輝的方式使之得到美妙的結(jié)果�！狿.J.Davis 

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)是胡作玄教授寫的關(guān)于數(shù)學(xué)發(fā)展史的一篇力作，在結(jié)束語中 他用精練的語言將數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程做了高度概括，不僅講述了數(shù)學(xué)危機(jī)產(chǎn)生的背景，同時也介紹了危機(jī)本身，最后他告訴我們危機(jī)是如何解決的。

我認(rèn)為這個結(jié)束語是必讀的，它對讀者閱讀全文和了解數(shù)學(xué)發(fā)展史有非常大的幫助。因?yàn)槿谋容^長，可能有人不會看到最后，而我又希望大家不要略過這個部分，為此我做了一個大膽的調(diào)整，請大家先閱讀結(jié)束語，如果你有興趣就可以隨意地閱讀其他相關(guān)的章節(jié)。把結(jié)束語放在最前面的目的是想把它作為一個閱讀的導(dǎo)引�！幷�

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

——胡作玄

結(jié)束語

數(shù)學(xué)素以精確嚴(yán)密的科學(xué)著稱，可是在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，仍然不斷地出現(xiàn)矛盾以及解決矛盾的斗爭。從某種意義下講，數(shù)學(xué)就是要解決一些問題，問題不過矛盾的一種形式。

有些問題得到了解決，比如任何正整數(shù)都可以表示為四個平方數(shù)之和；有些問題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數(shù)都再可以表表示為兩個素數(shù)之和。我們還很難說這個命題是對還是不對，因?yàn)殡S便給一個偶數(shù)，經(jīng)過有很多次試驗(yàn)總可以得出結(jié)論，但是偶數(shù)有無窮多個，你窮畢生精力也不會驗(yàn)證完。也許你能碰到到一個很大的偶數(shù)，找不到兩個素數(shù)之和等于它，不過即使這樣，你也難以斷言這種例外偶數(shù)是否有限多個，也就是某一個大偶數(shù)之后，上述歌德巴赫猜想成立。

這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計算機(jī)完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形，沒有有限，計算機(jī)也是無能為力的。因此看出數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無窮這對矛盾。只要無窮存在，你就要應(yīng)付它。這可以說是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。

在處理出現(xiàn)矛盾的過程中，數(shù)學(xué)家不可能不進(jìn)行“創(chuàng)造”，這首先表現(xiàn)在產(chǎn)生新概念上，我們不妨先不管自然數(shù)。

為了解決實(shí)際問題、人們必須發(fā)明出“零”來，然后要造出負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)乃至虛數(shù)。所謂虛，就是不實(shí)，憑空想象出來的意思，不過解代數(shù)方程有必要把它請進(jìn)來，請進(jìn)來后又覺得它不實(shí)在、不太放心。后來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。

復(fù)數(shù)擠進(jìn)數(shù)學(xué)王國之后，跟著四元數(shù)、八元數(shù)、超復(fù)數(shù)……都來了，它們可沒有復(fù)數(shù)都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數(shù)學(xué)家處于為難的境地。數(shù)學(xué)家經(jīng)常處于這種矛盾的過程中。

“什么是存在？”，這是數(shù)學(xué)的一個基本問題。什么東西可以擠進(jìn)數(shù)學(xué)王國？直覺主義者規(guī)定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構(gòu)造出來；而形式主義者規(guī)定一個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當(dāng)然邏輯沒有矛盾，其實(shí)就是遵守形式邏輯規(guī)律�？墒切问竭壿嬍菑娜祟愑邢藿�(jīng)驗(yàn)推出來的，對于無窮情形還靈不靈？這當(dāng)然存在問題，可是不許推廣，那數(shù)學(xué)還能剩下多少靠得住的東西呢？

在數(shù)學(xué)史上這種矛盾也是屢見不鮮的。無窮小量剛出現(xiàn)時，漏洞百出、無法自圓其說，可是行之有效、解決問題。所以達(dá)朗貝爾說：“前進(jìn)，你就能恢復(fù)信心!”，這可以說是一種實(shí)用主義態(tài)度。

十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時也扔掉了無窮小，這里無矛盾性占了上風(fēng)。1961年，羅濱遜發(fā)明非標(biāo)準(zhǔn)分析，又把無窮小量請了回來，仍然沒有矛盾。不過它是建立在模型論基礎(chǔ)上，要承認(rèn)非可數(shù)無窮基數(shù)的存在。

承認(rèn)無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好象打開潘朵拉的盒子，一切災(zāi)難都出來了。這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)。盡管悖論可以消除，矛盾可以回避，數(shù)學(xué)的確定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因?qū)懥艘槐尽稊?shù)學(xué)—確定性的喪失》一書，就是講的這件事。

現(xiàn)代公理集合論的一大堆公理簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒消除掉，它們跟整個數(shù)學(xué)可是血肉相連的。所以第三次危機(jī)表面上解決了，實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)看。矛盾既然是固有的，它的激烈沖突—危機(jī)也會給數(shù)學(xué)帶來許多新內(nèi)容，新認(rèn)識，有時也帶來革命性的變化。

把二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)同前整個數(shù)學(xué)相比，內(nèi)容不知豐富了多少，認(rèn)識也不知深入了多少。在集合論的基礎(chǔ)上，誕生了抽象代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析與測度論。數(shù)理邏輯也興旺發(fā)達(dá)，成為數(shù)學(xué)有機(jī)整體的—部分。古代的代數(shù)幾何、微分幾何、復(fù)分析現(xiàn)在已經(jīng)推廣到高維，代數(shù)數(shù)論的面貌也多次改變，變得越來越優(yōu)美、完整。一系列經(jīng)典問題完滿地得到解決，同時又產(chǎn)生更多的新問題。特別是二次大戰(zhàn)之后，新成果層出不窮，從未間斷。教學(xué)呈現(xiàn)無比興旺發(fā)達(dá)的景象，而這正是人們在同數(shù)學(xué)中矛盾斗爭的產(chǎn)物。