結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)素以精確嚴(yán)密的科學(xué)著稱，可是在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，仍然不斷地出現(xiàn)矛盾以及解決矛盾的斗爭(zhēng)。從某種意義下講，數(shù)學(xué)就是要解決一些問題，問題不過矛盾的一種形式。

有些問題得到了解決，比如任何正整數(shù)都可以表示為四個(gè)平方數(shù)之和；有些問題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數(shù)都再可以表表示為兩個(gè)素?cái)?shù)之和。我們還很難說這個(gè)命題是對(duì)還是不對(duì)，因?yàn)殡S便給一個(gè)偶數(shù)，經(jīng)過有很多次試驗(yàn)總可以得出結(jié)論，但是偶數(shù)有無窮多個(gè)，你窮畢生精力也不會(huì)驗(yàn)證完。也許你能碰到到一個(gè)很大的偶數(shù)，找不到兩個(gè)素?cái)?shù)之和等于它，不過即使這樣，你也難以斷言這種例外偶數(shù)是否有限多個(gè)，也就是某一個(gè)大偶數(shù)之后，上述歌德巴赫猜想成立。這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計(jì)算機(jī)完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結(jié)成有限的情形，沒有有限，計(jì)算機(jī)也是無能為力的。因此看出數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)回避不了有限與無窮這對(duì)矛盾。只要無窮存在，你就要應(yīng)付它。這可以說是數(shù)學(xué)矛盾的根源之一。

在處理出現(xiàn)矛盾的過程中，數(shù)學(xué)家不可能不進(jìn)行“創(chuàng)造”，這首先表現(xiàn)在產(chǎn)生新概念上，我們不妨先不管自然數(shù)。為了解決實(shí)際問題、人們必須發(fā)明出“零”來，然后要造出負(fù)數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)乃至虛數(shù)。所謂虛，就是不實(shí)，憑空想象出來的意思，不過解代數(shù)方程有必要把它請(qǐng)進(jìn)來，請(qǐng)進(jìn)來后又覺得它不實(shí)在、不太放心。后來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。

復(fù)數(shù)擠進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó)之后，跟著四元數(shù)、八元數(shù)、超復(fù)數(shù)……都來了，它們可沒有復(fù)數(shù)都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數(shù)學(xué)家處于為難的境地。數(shù)學(xué)家經(jīng)常處于這種矛盾的過程中。

“什么是存在？”，這是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本問題。什么東西可以擠進(jìn)數(shù)學(xué)王國(guó)？直覺主義者規(guī)定一個(gè)較窄的限制：必須能夠一步一步構(gòu)造出來；而形式主義者規(guī)定一個(gè)較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當(dāng)然邏輯沒有矛盾，其實(shí)就是遵守形式邏輯規(guī)律。可是形式邏輯是從人類有限經(jīng)驗(yàn)推出來的，對(duì)于無窮情形還靈不靈？這當(dāng)然存在問題，可是不許推廣，那數(shù)學(xué)還能剩下多少靠得住的東西呢？