數(shù)學(xué)電影：維

數(shù)學(xué)影片“維”是一部介紹數(shù)學(xué)歷史與最新知識(shí)的電影。該影片一共有9章，大約有2小時(shí)。 劇本與數(shù)學(xué)是法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家基思教授（Étienne Ghys）提供的，圖形與動(dòng)畫是由 Jos Leys博士負(fù)責(zé)提供的，Aurélien Alvarez 先生負(fù)責(zé)實(shí)現(xiàn)后期制作，還有許多志愿者一起 參與，共同設(shè)計(jì)完成了該作品。該影片目前已經(jīng)有了英語(yǔ)、法語(yǔ)和西班牙語(yǔ)的配音。這里播放 的是一個(gè)片段：認(rèn)識(shí)經(jīng)緯。

喜帕恰斯（Hipparchus）是我們故事的第一位主角，但是我們不能對(duì)他說(shuō)的話太認(rèn)真！ 他自稱為地理與天文學(xué)的創(chuàng)始人。這似乎有點(diǎn)言過(guò)其實(shí)；誰(shuí)能真正地如此斷言呢？

　

難道旅行者從不描述山水風(fēng)情，牧羊人不曾仰望夜空繁星？一門學(xué)問(wèn)，是很少只由一人所獨(dú)創(chuàng)的。然而，喜帕恰斯仍應(yīng)被尊為古時(shí)最優(yōu)秀的智者之一。

我們對(duì)于喜帕恰斯的一生所知甚少。他生于公元前190年，卒于公元前120年。不過(guò)，這位智者無(wú)庸置疑地是最早制作出星表，并且極精準(zhǔn)地測(cè)量出了各星體于天球中的位置的人之一。 天文學(xué)家把月球上一隕石坑以他的名子命名以示對(duì)他的尊崇。

第二位出場(chǎng)的人物是三世紀(jì)之后生于公元85年，卒于135年的 托勒密。

這位眾所周知的天文與地理學(xué)家是受到喜帕恰斯的研究成果所啟發(fā)的。不過(guò)，至于 這對(duì)他影響有多深遠(yuǎn)，歷史學(xué)家們的意見(jiàn)則不甚相同。托勒密到底是不是取用喜帕 恰斯的觀測(cè)結(jié)果，而非自行測(cè)量？ 我們把這個(gè)難題留給專家們。托勒密在月球上也有他自己的隕石坑！

喜帕恰斯和托勒密將告訴我們什么經(jīng)緯？他們解釋我們現(xiàn)今稱為坐標(biāo)系統(tǒng) （coordinate system）的概念是怎么產(chǎn)生的。

我們?cè)缰赖厍蚴菆A的。而在甚至還沒(méi)有任何人環(huán)繞過(guò)地球以前，聰明的希臘幾何學(xué)家 就已經(jīng)知道怎么準(zhǔn)確地測(cè)量它的周長(zhǎng)。

地球每天繞著一條軸心自轉(zhuǎn)一圈。這條軸心連接了各稱為北極與南極的兩點(diǎn)。每年，地球也會(huì)繞著太陽(yáng)公轉(zhuǎn)一圈，但喜帕恰斯和托勒密都不知道這個(gè)事實(shí)；他們還以為是太陽(yáng)繞行著地球。一直到哥白尼所處的十六世紀(jì)時(shí)，人們才開(kāi)始了解原來(lái)是地球正在繞行著太陽(yáng)。

想要找出地球的確切形狀就比較費(fèi)時(shí)了。有興趣的觀眾可以觀看以下視頻片段。

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事實(shí)上，直到幾十年前人們才能用公分以下的精度來(lái)測(cè)量其各處之長(zhǎng)短。地球并不是一個(gè)非常端正的球體：它在兩極處稍為扁平。不過(guò)，它的極半徑（6536.7523142公里，看看這樣的精確度�。┡c赤道半徑（6378.137公里）已經(jīng)相當(dāng)?shù)亟咏恕?/p>

喜帕恰斯先請(qǐng)我們把地球假設(shè)為一完美的圓球，接著講解了一些基本球面幾何學(xué)。根據(jù)定義，球面是所有與球心等距的點(diǎn)之集合。一條通過(guò)球心的直線與球面相交于兩點(diǎn)，且為一球面之對(duì)稱軸。我們可以把這條直線當(dāng)做地球的轉(zhuǎn)軸，并把兩個(gè)交點(diǎn)分別稱做北極和南極。
 

通過(guò)球心的一平面與球面交于一稱做大圓線的圓周。大圓線把球面分割成兩個(gè)半球。若此通過(guò)球心的平面與轉(zhuǎn)軸垂直，則它們相交而成的圓周就稱為赤道，而兩個(gè)半球則分別稱為南半球 與北半球。通過(guò)轉(zhuǎn)軸的平面與球面相交之大圓線將通過(guò)南極與北極。這些大圓線都各由兩個(gè)連接兩極的半圓周所組成；這些半圓周稱為經(jīng)線。除了極點(diǎn)之外，地球上的每一點(diǎn)都只在一條經(jīng)線上。

今因假設(shè)地球是正球體，故所有經(jīng)線皆等長(zhǎng)；它們的長(zhǎng)度都等于北極在球面上與南極之間的最短距離（約2,0000公里）。

有一條經(jīng)線被定義為地球上所有經(jīng)線的起始處。它通過(guò)英國(guó)的格林尼治天文臺(tái)；不過(guò)，我們其實(shí)也可以任取其它線為起點(diǎn)（而法國(guó)人將非常樂(lè)見(jiàn)它經(jīng)過(guò)巴黎�。�

所有其它的經(jīng)線則由被稱為經(jīng)度的角度（于下圖中被標(biāo)示為紅色）所形容。在地理學(xué)中，一般規(guī)定這個(gè)角度取值范圍為格林尼治經(jīng)線以西或以東0到180度�！�

垂直于軸心的平面把球面切割成互相平行的緯線(parallels)。緯線將會(huì)隨著離極點(diǎn)越靠近而變得越短小。兩極中間的赤道是相當(dāng)特殊的一條緯線；它是所有緯線中最長(zhǎng)的一條。其余的緯線皆位于赤道以北或以南，且并各由被稱為緯度的角度（圖中標(biāo)示為綠色）確認(rèn)。

除了兩極之外，地球的每一點(diǎn)都是一條經(jīng)線與一條緯線的交點(diǎn)，故我們可以給出每一點(diǎn)的經(jīng)度與緯度。 反之，若我們知道了地球上一點(diǎn)之經(jīng)緯度數(shù)，就可以找到它的位置。
   

重要的是，我們需要兩個(gè)數(shù)字方可確定地球上一點(diǎn)的位置。 所以，我們說(shuō)地球表面是二維的。同理，桌子或是足球的表面也是如此。 　

當(dāng)然，我們位在僅約為地表的地方而已！例如，人們搭乘飛機(jī)時(shí)，單憑經(jīng)度和緯度就不再足以精準(zhǔn)地描述出位置了 ……我們還要知道離地的高度。因此，如果想要確認(rèn)我們?cè)诘厍蛲鈱涌臻g中的位置，就必需用上三個(gè)數(shù)字。 于是我們說(shuō)空間是三維的。未來(lái)我們還會(huì)再提到這一點(diǎn)。

投影

喜帕恰斯又講述了數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，即投影。地球是圓的，但若我們想要編制地圖集，我們會(huì)希望能將它表示于一平面（例如一張紙）上，以制作地圖。

有很多種繪制世界地圖的方法。一般而言，我們會(huì)先選定一地點(diǎn) p，然后再將這點(diǎn)與平面上一點(diǎn) F(p) 相配。如此一來(lái)，我們就將該地點(diǎn)于平面上表示出來(lái)了。地圖學(xué)的精髓在于如何選定表示法 F；不同的選擇將會(huì)彰顯出一地域之不同的特征。等距映像將是最理想的選擇。兩點(diǎn)p與q 之間的距離，與在它們經(jīng)過(guò)等距映像之后被表示于平面上的兩點(diǎn) F(p) 與 F(p) 之間的距離，是完全一樣的。但不幸的是，根本不存在這種映像，而我們只得想辦法退而求其次。

　

例如，有些映像可以盡量忠實(shí)地呈現(xiàn)出一些地形的樣貌。地圖學(xué)是一相當(dāng)迷人的學(xué)門，其歷史常與數(shù)學(xué)史同樣地淵遠(yuǎn)流長(zhǎng)，又拜現(xiàn)代精準(zhǔn)的測(cè)量法與計(jì)算機(jī)科技所賜，近來(lái)還獲得十分重要的進(jìn)展。這兩篇文章可做為研究該學(xué)科的出發(fā)點(diǎn)。
　

喜帕恰斯介紹給我們的映像有個(gè)深?yuàn)W的名子：球極平面投影法。時(shí)至今日，除了用于描繪極區(qū)之外，制作地圖時(shí)已多半不采用球極平面投影了。不過(guò)，隨著影片的進(jìn)行，我們將會(huì)漸漸地理解到這種投影法于數(shù)學(xué)上有著深遠(yuǎn)的影響，且事實(shí)上極具用處。  

它的定義很簡(jiǎn)單。我們考慮一與地球在南極相切的平面 P。對(duì)球面上(除了北極之外)的每一點(diǎn) p，我們畫出一條連接北極與點(diǎn) p 的直線 pn。這條直線與切平面P 交于另一點(diǎn) F(p)。球極投影法就因而將球面（除了北極外）在平面P上表示出來(lái)了。

誰(shuí)發(fā)明了這個(gè)投影法？這又是一個(gè)備受爭(zhēng)議的話題；有些人認(rèn)為是喜帕恰斯，又有些人覺(jué)是托勒密，還有些人主張的確是喜帕恰斯發(fā)明的，但是他并不了解它的性質(zhì)。

   

為了說(shuō)明此性質(zhì)，喜帕恰斯把地球放在切于南極點(diǎn)的平面上滾動(dòng)。滾動(dòng)會(huì)使南極點(diǎn)離開(kāi)此平面。同時(shí)，投影也不再是由北極投射而下，而是從球體的“最高點(diǎn)”投射到接“最低點(diǎn)”的切平面上。雖然把地球這樣滾來(lái)滾去的想法也許是不切實(shí)際的，但是我們可以因此得到一些很不錯(cuò)的投影圖！

球極投影法有三個(gè)息息相關(guān)的基本性質(zhì)。
第一個(gè)性質(zhì)是：球面上的一個(gè)圓經(jīng)過(guò)球極投影法在平面上的變換是一個(gè)圓或一條直線。影片里清楚地說(shuō)明了這個(gè)性質(zhì)。如果您耐心地看到最后一章，您就可以知道其原因何在。　

球極投影法的第二個(gè)性質(zhì)是：它保有原來(lái)的角度。意即，球面上任意兩條曲線的交角皆不會(huì)隨著投影而改變。這一點(diǎn)并沒(méi)有在影片中被加以說(shuō)明。您可以在左圖中發(fā)現(xiàn)，經(jīng)線與緯線在經(jīng)過(guò)投影后是交于直角的，就跟它們?cè)谇蛎嫔系那樾我粯�。這個(gè)特質(zhì)對(duì)于正在繪制路線圖的領(lǐng)航員特別有用……在地圖上用工具量出來(lái)的角度，就與實(shí)際的角度完全相同，這對(duì)他們來(lái)說(shuō)真是好極了。
 

球極投影法第三個(gè)性質(zhì)則是：盡管此投影法并不完完全全保距，它會(huì)「盡其所能」地做到這一點(diǎn)。設(shè)球面上一點(diǎn)為 p，另設(shè)點(diǎn) p 周圍的一塊小區(qū)域?yàn)?R。球極投影法會(huì)把這塊區(qū)域 R 映像為一塊點(diǎn) F(P) 周圍的一塊區(qū)域 F(R)。R 越小，F(xiàn) 就會(huì)把 R 的原形保留地越完整。用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是：存在一所謂 R 之映像縮放常數(shù) k，使得R內(nèi)任意兩點(diǎn)q1 與q2 之間（在球面上）的距離與點(diǎn)F(q1) 與F(q2) 之間（在平面上）的距離之比皆近似于 k。

這里的“近似”是什么意思？它的意思是說(shuō)，若R 越小，則距離比就會(huì)越接近k。即，大致而言，這個(gè)映像會(huì)保有極小區(qū)塊之形狀，故此映像是保形的。這是球極投影法最重要的一個(gè)性質(zhì)：若僅欲投影所在地附近之小塊區(qū)域，球極投影法已幾近完美。    

　

在結(jié)束第一段旅程之后，讓我們重溫一下喜帕恰斯教了我們什么：球面是二維的，因?yàn)槲覀兛梢杂媒?jīng)度與緯度兩數(shù)確認(rèn)球面上的點(diǎn)位于何處。還有，球極投影法對(duì)于將球面表示于平面上之工作非常地有用… …。

當(dāng)我們探索三維空間與四維空間之時(shí)，這些事實(shí)將會(huì)很有幫助。