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為什么把數(shù)學(xué)作為一種文化來研究，而不是只把它局限于科學(xué)的范疇呢？一是因為文化的含意比科學(xué)更廣泛。蔡元培說，“文化是人生發(fā)展的狀況”，胡適說，“文明是一個民族應(yīng)付他的環(huán)境的總成績，文化是一種文明所形成的生活方式�！蔽幕w所有科學(xué)，而數(shù)學(xué)具備這種廣泛的涵蓋性，既表現(xiàn)在它的原創(chuàng)性方面，也表現(xiàn)在它的應(yīng)用性方面。數(shù)學(xué)影響其他的東西，感化和支配別的東西，它具備了“大文化”概念所具有的“真”(真理化)、“美”(藝術(shù)化)、“善”(道德化)，體現(xiàn)了一種精神的顯現(xiàn)。數(shù)學(xué)作為文化，還在于它表現(xiàn)了一種前所未有的探索精神、創(chuàng)新精神，它的理性思維的功能發(fā)揮得淋漓盡致，它提供給人們的不僅僅是思維模式，同時又是一種有力的解決問題的工具和武器，既反映了思維上的合理性和價值趨向，又拓展了人們的思想解放之路，因為數(shù)學(xué)常常是自己否定自己的。作者通過多年研究，深感數(shù)學(xué)作為一種重要的社會文化，在推動社會進(jìn)步、提高人類素質(zhì)等方面具有其他學(xué)科無法替代的作用。本文僅從以下方面扼要敘述，以就教于萬家。
一、數(shù)學(xué)文化的學(xué)科觀
沒有任何一種科學(xué)能像數(shù)學(xué)這樣澤被后人。愛因斯坦在談到數(shù)學(xué)時說：“數(shù)學(xué)之所以有高聲譽，還有另一個理由，那就是數(shù)學(xué)給予精密自然科學(xué)以某種程度的可靠性，沒有數(shù)學(xué)，這些科學(xué)是達(dá)不到這種可靠性的�！盵1]
M·克萊因說：“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說；滿足了人類探索宇宙的好奇心和對美妙音樂的冥想；有時甚至可能以難以察覺到的方式但無可置疑地影響著現(xiàn)代歷史的進(jìn)程�！薄皩嶋H上，在現(xiàn)代經(jīng)驗科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法已越來越成為該學(xué)科成功與否的主要判別標(biāo)準(zhǔn)。”[1
]……
早在1959年5月，著名數(shù)學(xué)家華羅庚就在《人民日報》上發(fā)表了"大哉數(shù)學(xué)之為用”的文章，精彩地論述“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”等方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)。中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部由王梓坤先生起草的《今日數(shù)學(xué)及其應(yīng)用》課題中，特別強調(diào)了數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，他說：“數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)在于對整個科學(xué)技術(shù)(尤其是高新技術(shù))水平的推進(jìn)與提高，對科技人才的培養(yǎng)和滋潤，對經(jīng)濟(jì)建設(shè)的繁榮，對全體人民的科學(xué)思維與文化素質(zhì)的哺育，這四方面的作用是極為巨大的，也是其他學(xué)科所不能全面比擬的。”[2
]
1.“數(shù)學(xué)”是什么？
數(shù)學(xué)是什么？迄今為止，眾說紛紜，莫衷一是。
英國的羅素說：“數(shù)學(xué)是我們永遠(yuǎn)不知道我們在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學(xué)科。”而法國的E·波萊爾則提出另一個與其針鋒相對的說法：“數(shù)學(xué)是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學(xué)。”兩者各執(zhí)一詞，不能說沒有道理，但羅素的定義似乎陷入了虛無主義的態(tài)度。
關(guān)于“數(shù)學(xué)”是什么，大概有以下說法：
�。�1）萬物皆數(shù)說“萬物皆數(shù)”的始作俑者是畢達(dá)哥拉斯，他說：“數(shù)統(tǒng)治著宇宙”。這一說法在長時間內(nèi)得到不少人的贊同。蘇格拉底甚至強調(diào)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是“為了靈魂本身去學(xué)”。柏拉圖稱“上帝乃幾何學(xué)家”，他在自己學(xué)園門上寫著：“不懂得幾何學(xué)的不得入內(nèi)�！�
�。�2）哲學(xué)說自從古希臘人搞哲學(xué)開始，數(shù)學(xué)就成為哲學(xué)問題的重要來源。古希臘的大哲學(xué)家?guī)缀醵际谴髷?shù)學(xué)家，這就難怪為什么他們比較容易從哲學(xué)上來定義數(shù)學(xué)。亞里士多德說：“新的思想家雖說是為了其他事物而研究數(shù)學(xué)，但他們卻把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的�！�
對數(shù)學(xué)給予哲學(xué)的定義，首推歐幾里得，歐氏在《原本》中對數(shù)學(xué)的定義幾乎都是從哲學(xué)方面提出的。比如：
點是沒有部分的那種東西；
線是沒有寬度的長度；
直線是同其中各點看齊的線；
面是只有長度和寬度的那種東西。
……
�、訄A是包含在一(曲)線里的那種平面圖形，從其內(nèi)某一點達(dá)到該線的所有直線彼此相等。
……
牛頓在其《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》第一版序言中曾說，他是把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來。”羅素則更直接，他說：“為了創(chuàng)造一種健康的哲學(xué)，你應(yīng)該拋棄形而上學(xué)，且要成為一個好數(shù)學(xué)家�！彼褦�(shù)學(xué)的素養(yǎng)作為創(chuàng)造健康哲學(xué)的基本條件。
（3）符號說數(shù)學(xué)被人們普遍公認(rèn)為是一種高級語言，是符號的世界。伽里略的一段話流傳頗廣，即“宇宙是永遠(yuǎn)放在我們面前的一本大書，哲學(xué)就寫在這本書上。但是，如果不首先掌握它的語言和符號，就不能理解它。這本書是用數(shù)學(xué)寫的，它的符號是三角形、圓和其他圖形，不借助于它們就一個字也看不懂，沒有它們就只會在黑暗的迷宮中躑躅�！�
�。�4）科學(xué)說此說認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門科學(xué)�！皵�(shù)學(xué)，科學(xué)的皇后；算術(shù)，數(shù)學(xué)的皇后�！�(G·Ｆ·高斯)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門和鑰匙�！�(培根)“數(shù)學(xué)是我們時代有勢力的科學(xué)，它不聲不響地擴大它所征服的領(lǐng)域；那種不用數(shù)學(xué)為自己服務(wù)的人將會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)被別人用來反對他自己”(赫爾巴黎)。
（5）模型說把數(shù)學(xué)定義為模型古已有之。懷特海認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就是研究相關(guān)模式的最顯著的實例”。約翰遜·格倫說：“數(shù)學(xué)為邏輯提供了一個理想的模型，它的表達(dá)是清晰的和準(zhǔn)確的，它的結(jié)論是確定的，它有著新穎和多種多樣的領(lǐng)域，它具有增進(jìn)力量的抽象性，它具有預(yù)言事件的能力，它能間接地度量數(shù)量，它有著無限的創(chuàng)造機會……”雷尼說：“甚至一個粗糙的數(shù)學(xué)模型也能幫助我們更好地理解一個實際的情況�！�
除以上這些說法之外，還有很多，比如創(chuàng)新說、工具說、審美說、邏輯說、直覺說、結(jié)構(gòu)說、集合說、活動說、藝術(shù)說，但不管哪種說法，都很難用一句話把數(shù)學(xué)說全，這可能就是數(shù)學(xué)異于其他科學(xué)而作為文化的最主要的特點，數(shù)學(xué)是屬于世界的，它幾乎無所不有。
2.關(guān)于數(shù)學(xué)文化的學(xué)科體系
數(shù)學(xué)文化的體系框架是什么？或者說它的支撐點是什么？作者在這里提出現(xiàn)實世界、概念定義和模型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)文化的“三元結(jié)構(gòu)”，三者缺一不可。數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實世界，特別是現(xiàn)實世界中發(fā)生在人與自然之間的諸多問題，是數(shù)學(xué)科學(xué)的基礎(chǔ)。人們通過對現(xiàn)實世界的大量觀察以及對這些問題間相互關(guān)系的了解，包括借助經(jīng)驗的發(fā)展，經(jīng)過類比、歸納，當(dāng)然其中有邏輯的、也有非邏輯的，進(jìn)而抽象出概念(包括一些定義或公理)。
概念定義是理性了的東西。定義、公設(shè)、定理，從根本上講，比較真實地反映了現(xiàn)實世界的諸多關(guān)系和內(nèi)容。比如，歐氏幾何的定義、公設(shè)、定理，2000多年來一直被人們奉為經(jīng)典，就是因為它解決了人們生活實踐中的問題。
S·麥克萊恩把人類活動直接導(dǎo)致的部分?jǐn)?shù)學(xué)分支列了一個表。
計數(shù)：算術(shù)和數(shù)論；
度量：實數(shù)，演算，分析；
形狀：幾何學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)；
造型(如在建筑學(xué)中)：對稱性，群論；
估計：概率，測度論，統(tǒng)計學(xué)；
運動：力學(xué)，微積分學(xué)，動力學(xué)；
證明：邏輯；
分組：集合論，組合論。
人類的這些不同活動不是完全獨立的。它們以復(fù)雜的方式相互作用、活動。這些活動給人類提供了對象和運算，同時也導(dǎo)致了后來嵌入形式公理系統(tǒng)各種概念。數(shù)學(xué)概念的形成，是人們對客觀世界認(rèn)識科學(xué)性的具體體現(xiàn)。數(shù)學(xué)概念的抽象、歸納，實際上為建立模型奠定了基礎(chǔ)。數(shù)起源于人類各式各樣的實踐活動，又從這些活動中抽象出許多一般的但又不是任意的、有確切內(nèi)容和明確含意的概念，然后將這些概念應(yīng)用到現(xiàn)實世界中去，把問題化歸為一種形式結(jié)構(gòu)，這就是我們講的模型結(jié)構(gòu)。模型是數(shù)學(xué)思想活的靈魂，千姿百態(tài)的模型，反映了一個精彩紛呈的世界。
事實上，相對于數(shù)學(xué)模型，有時數(shù)學(xué)對象具有一種雙重意義。單就其所表現(xiàn)的要領(lǐng)以及形式結(jié)構(gòu)而言，數(shù)學(xué)模型是對現(xiàn)實世界的對象物化了的東西，它已經(jīng)不是原來的對象，不是一個真實的存在，而是一個抽象過后的產(chǎn)物。然而，就它蘊含的內(nèi)容來看，數(shù)學(xué)概念、形式結(jié)構(gòu)，又的確是客觀世界的真實反映。不然：
為什么物體運動的牛頓力學(xué)的形式計算被證實是符合實際運動的？
為什么微分方程邊值問題的理論性質(zhì)能極適當(dāng)?shù)孛枋鲭娮訉W(xué)、光學(xué)、機械學(xué)、流體力學(xué)、電動力學(xué)的許多現(xiàn)象？
為什么微積分對物理學(xué)和對經(jīng)濟(jì)學(xué)的局部極大值問題都適用？
所以，從現(xiàn)實世界中經(jīng)過邏輯的、非邏輯的，化歸抽象出概念、定義，然后又用這些定義、概念去梳理現(xiàn)實世界中的各種建構(gòu)模型，去精心計算，以便給出確切的數(shù)、量、形關(guān)系。歸納、抽象、演繹、構(gòu)模、計算，這就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)與魅力。
3.關(guān)于數(shù)學(xué)文化的外延性特點
數(shù)學(xué)文化外延非常寬泛，它涉及多種學(xué)科。馬克思早就說過：“一種科學(xué)只有成功地運用數(shù)學(xué)時，才算真正達(dá)到完善的程度�！苯陙�，特別是數(shù)學(xué)文化在人文、社會、科技進(jìn)步等方面的成功滲透，更充分地證明了馬克思這一論斷的正確性。
數(shù)學(xué)與教育、數(shù)學(xué)與文化、數(shù)學(xué)與史學(xué)、數(shù)學(xué)與哲學(xué)、數(shù)學(xué)與社會學(xué)、數(shù)學(xué)與高科技等交叉的方面，都派生出一些新的學(xué)科生長點。以數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)的結(jié)合為例：數(shù)學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)可以說密不可分，以至于在今天不懂?dāng)?shù)學(xué)就無法研究經(jīng)濟(jì)。在宏觀經(jīng)濟(jì)活動中如何及時剎住經(jīng)濟(jì)過于繁榮，又不至于滑入災(zāi)難性的經(jīng)濟(jì)衰退的危險中，可從最優(yōu)控制理論得到方法上的幫助。正是由于運用了控制理論和梯度法，人們求解了南朝鮮經(jīng)濟(jì)的最優(yōu)計劃模型。在微觀經(jīng)濟(jì)中，數(shù)學(xué)的作用也極為廣泛。比如在提高產(chǎn)品的成功率方面，若某一產(chǎn)品的質(zhì)量是依賴于若干個因素，而這若干個因素的每個因素又都受一些條件的制約，如何挑選出最優(yōu)搭配，實際上就是一個統(tǒng)計實驗設(shè)計(SED)的問題。當(dāng)今世界，運用數(shù)學(xué)建立經(jīng)濟(jì)模型，尋求經(jīng)濟(jì)管理中的最佳方案，運用數(shù)學(xué)方法組織、調(diào)度、控制生產(chǎn)過程，從數(shù)據(jù)處理中獲取經(jīng)濟(jì)信息等，使得代數(shù)學(xué)、分析學(xué)、概率論和統(tǒng)計數(shù)學(xué)等大量數(shù)學(xué)的思想方法進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)，并反過來促進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。今天，一位不懂?dāng)?shù)學(xué)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家是決不會成為一位杰出經(jīng)濟(jì)學(xué)家的。1969～1981年間的13位諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的獲得者中，有7位獲獎?wù)呤且蚱浣艹龅臄?shù)學(xué)工作起了主要作用。其中前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家坎托羅維奇因?qū)ξ镔Y最優(yōu)調(diào)撥理論的貢獻(xiàn)而獲1975年諾貝爾獎，被公認(rèn)為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)理論的奠基人。Klein因“設(shè)計預(yù)測經(jīng)濟(jì)變動的計算機模式”而獲1980年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。Tobin因“投資決策的數(shù)學(xué)模型”獲1981年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。Debren獲1982～1983年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，然而他的主要工作都反映在數(shù)學(xué)上[3]。
其實，除上面我們列述的許多方面，數(shù)學(xué)還廣泛滲透到其他領(lǐng)域。有位數(shù)學(xué)家甚至斷言：“只要文明不斷進(jìn)步，在下一個兩千年里，人類思想中壓倒一切的新鮮事物，是數(shù)學(xué)理智的統(tǒng)治”[3]。
二、數(shù)學(xué)文化的哲學(xué)觀
自從有哲學(xué)以來，數(shù)學(xué)就成為哲學(xué)問題的一個重要來源，為哲學(xué)的思考與發(fā)展提供了豐富的實踐環(huán)境。古希臘時代的許多大哲學(xué)家，多數(shù)是大數(shù)學(xué)家。在他們眼里，數(shù)學(xué)與哲學(xué)是同宗同源的。數(shù)學(xué)文化的哲學(xué)觀，從根本上來講就是把數(shù)學(xué)作為一門思維學(xué)科，特別是其中的哲學(xué)思維內(nèi)容以及比較具體一點的對思維。
關(guān)于哲學(xué)思維
�。�1）抽象思維抽象思維是數(shù)學(xué)文化哲學(xué)思維中最根本、最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是靈魂。所謂抽象，就是把同類事件中最關(guān)鍵、最根本的本質(zhì)性的東西拎出來，加以歸納，使其具有更大的推廣性和普適性。比如人們常談到的哥尼斯堡七橋問題，歐拉就是通過抽象，把兩岸及兩島想象為四個點(因為點的大小是無關(guān)緊要的，事實上幾何的點也無大小)，把七座橋想象為七條線(線的形狀如何，線的寬窄都是無關(guān)緊要的，事實上幾何的線也無寬窄)。這樣，就成了聯(lián)結(jié)四個點的七條線。通過對七橋問題的解決，發(fā)現(xiàn)真正的問題是“奇點”、“偶點”的問題，這就把七橋問題的最本質(zhì)的東西——組合拓?fù)湫再|(zhì)凸顯出來了。今后凡是類似的問題，不管是七橋還是八橋、九橋都可以解決了。
抽象有多種辦法來實現(xiàn)，比如強抽象、弱抽象、構(gòu)象化抽象、公理化抽象等。
�。�2）邏輯思維數(shù)學(xué)不能完全歸結(jié)為邏輯思維，但邏輯作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)卻始終占據(jù)著數(shù)學(xué)哲學(xué)最主要的位置。邏輯思維是整個數(shù)學(xué)科學(xué)各分支之間聯(lián)結(jié)的紐帶。
其一，邏輯思維可以用來檢驗、證明數(shù)學(xué)真理。這種檢驗和證明，主要是借助演繹與歸納的方法：一是通過演繹把數(shù)學(xué)真理從一般推到個別，二是通過歸納把個別推廣到一般。
其二，邏輯思維使數(shù)學(xué)文化系統(tǒng)化、體系化、科學(xué)化。邏輯對數(shù)學(xué)來講，有時是起一條線的串聯(lián)作用，它把許多零碎的東西串起來。通過去偽存真、去粗取精、化歸統(tǒng)一，最終形成一個抽象的、簡潔的、形象的、生動優(yōu)美的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。羅素說過：“邏輯即數(shù)學(xué)的青年時代，數(shù)學(xué)即邏輯的壯年時代，青年與壯年沒有截然的分界線，故數(shù)學(xué)與邏輯亦然�！�
其三，邏輯思維既可以經(jīng)過歸納、演繹、推理，獲得新的結(jié)果，也可以重新審視一下已有邏輯，換一種思路，進(jìn)到一個新的領(lǐng)域中，如前面講的非歐幾何、群論等；再就是根據(jù)需要，發(fā)展或確立新的數(shù)學(xué)對象和領(lǐng)域。
（3）形象思維數(shù)學(xué)中的形象思維是激勵人們的想象力和創(chuàng)造力的，它常常導(dǎo)致重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的形象思維具有一般形象思維的性質(zhì)與內(nèi)容，但它又與一般的形象思維(專指文學(xué)藝術(shù)類)不同，它的對象是數(shù)學(xué)的內(nèi)容。數(shù)學(xué)的形象思維，按照徐利治先生的意見可分為四個層次：第一層次為幾何思維；第二個層次是類幾何思維；第三個層次是數(shù)學(xué)思維；第四個層次是數(shù)學(xué)觀念的直覺，它類似第三個層次，但這里更強調(diào)對數(shù)學(xué)觀念性質(zhì)、相互聯(lián)系以及重新組合過程的形象化感覺，由這種形象化感覺而反映出來的直覺，是無法用邏輯思維解釋清楚的，但它確實又存在著。
數(shù)學(xué)文化的形象思維，在其過程中主要借助數(shù)學(xué)想象，這種想象包括視覺想象、聽覺想象和觸覺想象。正如維納所言：“就我而言，最有用的資質(zhì)，乃是廣泛持久的記憶力，以及猶如萬花筒一般的自由的想象力，這種想象力本身或多或少會向我提供關(guān)于極其復(fù)雜的思維活動的一系列可能的觀點�！�
�。�4）直覺思維直覺思維是數(shù)學(xué)哲學(xué)思維中的重要內(nèi)容之一。
首先，這種直覺思維是非邏輯的，不是靠推理和演繹獲得的。數(shù)學(xué)的猜測和想象，都已經(jīng)具有一定的非邏輯性。越是復(fù)雜的數(shù)學(xué)想象，可能越缺少邏輯。因為在邏輯蒼白無力的地方，恰恰是直覺在發(fā)揮著重要的作用。直覺思維是一種很可珍貴的精神狀態(tài)，它的特點就是突然出現(xiàn)和非預(yù)期性。這種突然出現(xiàn)，有時如“狂濤暴漲”一樣震撼人的心靈，把人引到一種興高采烈、眉飛色舞的境界。龐加萊曾這樣說過：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇到任何障礙，但是它不能告訴我們哪一條道路能引導(dǎo)我們到達(dá)目的地。為此，必須從遠(yuǎn)處了望目標(biāo)，而數(shù)學(xué)教導(dǎo)我們了望的本領(lǐng)是直覺。沒有直覺，數(shù)學(xué)家就會像這樣一個作家：他只是按語法寫詩，但是卻毫無思想。直覺實際上是一種機敏的洞察力，是一種無法言傳身教但又是每個數(shù)學(xué)家所必不可少的素養(yǎng)”。應(yīng)當(dāng)指出的是，數(shù)學(xué)家們的“神來”之筆及突然“頓悟”，恰恰是平時苦心經(jīng)營、功夫到家后的水到渠成，是經(jīng)過千錘百煉之后熟能生巧所產(chǎn)生出的觸類旁通。誠然，由于數(shù)學(xué)直覺思維的非邏輯性、突發(fā)性等特點，很難說直覺有什么規(guī)律可循。
關(guān)于對思維
數(shù)學(xué)文化的“對思維”，并非專指矛盾的雙方，實際上是指一個問題的兩個方面，它集中反映在如下方面：
宏觀與微觀對于認(rèn)識世界來說，哲學(xué)著眼于大范圍內(nèi)的宏觀考慮，是望遠(yuǎn)鏡，它可以無所限制地任思想自由飛翔。數(shù)學(xué)則不然，它屬于精密科學(xué)，來源于實踐，不像哲學(xué)那么宏觀，數(shù)學(xué)對象是一些具體問題，是一門實踐科學(xué)，它研究現(xiàn)實世界與人類經(jīng)驗多方面的各種形式模型的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)細(xì)致入微，容易進(jìn)入到一些成熟學(xué)科中，并從中獲得足夠豐富的營養(yǎng)基，拓寬自己的思路，發(fā)揮自己的作用。
抽象與具體哲學(xué)所涉及的問題，能夠不同程度地認(rèn)識和理解，但是，哲學(xué)有時往往會有這樣的情況，有些問題，看起來似乎很具體，但實際上很模糊，難以駕馭和把握，有一種看似容易實則難的感覺。數(shù)學(xué)與哲學(xué)不一樣，數(shù)學(xué)源于實踐，但又研究抽象。數(shù)學(xué)的定義、定理、公設(shè)，是源于實踐的，但又是高度抽象的。因此，能進(jìn)入到數(shù)學(xué)的領(lǐng)地，不具有相當(dāng)高的思維水準(zhǔn)是不可能的，外行是不可能理解數(shù)學(xué)的定義、公設(shè)和公理的。比如，“點”是什么？“線”是什么？如果一個老師在黑板上用粉筆點一個“點”，再劃一根“線”，那“點”和“線”又是很具體的。這時的點、線都是可視的、具體的、容易理解的。
證明與非證明黑格爾說：“證明是數(shù)學(xué)的靈魂。”數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的，通常情況下，如果它受什么條件制約的話，則必有什么性質(zhì)；假如具備什么條件的話，則必然有什么結(jié)果。例如，兩三角形三條邊對應(yīng)成比例，則這兩個三角形相似。對應(yīng)成比例是條件，相似是結(jié)論。數(shù)學(xué)從不先肯定“是什么”，它總是首先注重前提，然后才是結(jié)論。
而哲學(xué)無需證明，也無需“假設(shè)”。哲學(xué)的命題從來都是不含糊的、肯定的、唯一的。比如“世界是物質(zhì)的�！薄耙磺惺挛锒及堋！薄拔飿O必反”……你能說“不”嗎？這些命題不要先決條件。
概念的約束與非約束數(shù)學(xué)依賴于客觀世界，經(jīng)過抽象形成自己的概念，但概念一旦形成，就有它自己的固有性質(zhì)了。因此數(shù)學(xué)概念一旦形成，數(shù)學(xué)本身也就把自己制約在概念中了。比如G�？低袪柡痛鞯陆鹪陂_始建立實數(shù)理論時，本打算證明實數(shù)與自然數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，但沒有想到結(jié)論是實數(shù)比自然數(shù)多，他更沒有想到一小截線段上的點竟然可以和全部空間的點一一對應(yīng)。集合論的每一個新發(fā)現(xiàn)都使G�？低袪柛械匠泽@。其他一些數(shù)學(xué)概念的形成，都具有同樣的道理。哲學(xué)則不然，它不受概念的限制與約束。
有限與無限無限王國，把數(shù)學(xué)一步一步引向深入。你看：
為解決無限的問題，由歐氏幾何產(chǎn)生了非歐幾何；
為解決無限的問題，從常量到變量，產(chǎn)生了微積分；
為解決無限的問題，集合論的產(chǎn)生完善了數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)；
……
正因為如此，希爾伯特說：“從來就沒有任何問題能像無限那樣，深深觸動著人們的情感；沒有任何觀念能像無限那樣，曾如此卓有成效地激勵著人們的理智；也沒有任何概念能象無限那樣，是如此迫切地需要予以澄清�！蔽覀兛梢赃@樣考慮問題，多邊形是由有限條直線段組成的，把有限化為無限，多邊形就變成了一條環(huán)形的封閉曲線。
量變與質(zhì)變數(shù)學(xué)是研究事物關(guān)系的模型以及對事物運動狀態(tài)進(jìn)行描述的科學(xué)，其中一個非常重要的本質(zhì)性問題就是量變與質(zhì)變的問題。比如，若一平面與一個圓錐相截，其截口的幾何圖形的性質(zhì)就會隨平面與圓錐體截面的交角不同而變化，若交角是直角，則截面是圓；若交角稍變一點(大于90°或小于90°是一個道理)，則截面是橢圓；若再變下去，當(dāng)變到一個關(guān)鍵點時，橢圓就變成拋物線了。再比如對數(shù)曲線，它的每一個循環(huán)，都呈一種攀升的螺旋狀式周期變化，我們可以看作是否定之否定的結(jié)果。
必然性和偶然性準(zhǔn)確地給出一個大家都能接受的關(guān)于偶然與必然的哲學(xué)定義，是十分困難的。數(shù)學(xué)中的概率論，為我們科學(xué)認(rèn)識必然與偶然提供了最佳工具。W·Ｓ·Ｊerons說，概率論是生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對概率的某種估計，那么我們就寸步難行，無所作為。
拉普拉斯稱，雖然它(概率論)是從某一低級的賭博開始的，但它卻已成為人類知識中最重要的領(lǐng)域。概率論的目的就是從偶然中探求必然的規(guī)律，它是機遇的模型，這種模型面對的是自然界中的必然現(xiàn)象和隨機現(xiàn)象(我們稱之為偶然現(xiàn)象)。
三、數(shù)學(xué)文化的社會觀
我們將數(shù)學(xué)作為一種文化來思考，還有一個原因，就是它具有明顯的社會化功能：
（1）符號功能符號是數(shù)學(xué)抽象物的表現(xiàn)形式。
M·克萊因稱：“數(shù)學(xué)的另一個重要特征是它的符號語言。如同音樂利用符號來代表和傳播聲音一樣，數(shù)學(xué)也用符號表示數(shù)量關(guān)系和空間形式。
憑借數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密性和簡潔性，數(shù)學(xué)家們就可以表達(dá)和研究數(shù)學(xué)思想，這些思想如果用普通語言表達(dá)出來，就會顯得冗長不堪。這種簡潔性有助于思維的效率�！�
美國數(shù)學(xué)史家D·Ｊ·斯特洛伊克曾經(jīng)指出：“一種合適的符號要比一種不良的符號更能反映真理，而合適的符號，它就帶著自己的生命出現(xiàn)，并且它又創(chuàng)造出新生命來�！睌�(shù)學(xué)符號的這種奇特性質(zhì)受到人們的普遍注意。許多數(shù)學(xué)家都有一種感覺，從符號中得到的東西比輸入的更多，它們好像比它們的創(chuàng)造者更聰明。有些符號似乎具備一些神奇的力量，能在其內(nèi)部傳播變革和創(chuàng)造性發(fā)展的種子。有些時候，可能僅僅是由于選擇到適當(dāng)?shù)姆�，就會�?dǎo)致十分重要的數(shù)學(xué)成果。
（2）模型功能甚至一個粗糙的數(shù)學(xué)模型也能幫助我們更好地理解一個實際的問題。一個數(shù)學(xué)模型即使導(dǎo)出了與事實不符合的結(jié)果，它也還可能是有價值的，因為一個模型的失敗可以幫助我們?nèi)ふ腋玫哪Ｐ汀?shù)學(xué)模型的最優(yōu)之處，就是它揚棄了具體事物中的一切與研究目標(biāo)無本質(zhì)聯(lián)系的各種具體的物質(zhì)屬性，是在一種純粹狀態(tài)下的數(shù)量、關(guān)系的結(jié)構(gòu)，因此更具有普適性。數(shù)學(xué)學(xué)科以外的諸多自然科學(xué)和人文、社會科學(xué)，只有成功地建立起數(shù)學(xué)模型，才算得上趨于成熟和完善。國際數(shù)學(xué)教育委員會將數(shù)學(xué)教育的研究課題分為15個專題，其中第7個方面的問題是“問題解決，模型化和應(yīng)用”，他們把解題和構(gòu)造模型放在一起，稱之為當(dāng)今數(shù)學(xué)教育發(fā)展的三大趨勢之一。
（3）審美功能數(shù)學(xué)文化的另一個重要功能是在美學(xué)方面，這種功能是鼓舞人們把對數(shù)學(xué)的追求化為一種對審美的追求。人們期待它的構(gòu)造在“美學(xué)上”的“雅致性”和在敘述問題時的自如性，如果你能自如地敘述問題，把握它和企圖解決它，那么某些使人驚奇的探索過程中遇到的曲折會變得容易得多等等。如果推導(dǎo)是冗長的或者復(fù)雜的，應(yīng)該存在某些簡單的一般原則，可以用來“說明”復(fù)雜性和曲折性，這些標(biāo)準(zhǔn)顯然就是對任何創(chuàng)造性藝術(shù)所提的標(biāo)準(zhǔn)。
羅素這位數(shù)學(xué)思想大師就曾這樣毫不掩飾地說過：“數(shù)學(xué)，如果正確地看它，則具有……至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完美的境地。一種真實的喜悅的精神，一種精神上的亢奮，一種覺得高于人的意識——這些是至善至美的標(biāo)準(zhǔn)，能夠在詩里得到，也能夠在數(shù)學(xué)里得到�！盵4]
（4）數(shù)學(xué)是推動社會發(fā)展的先進(jìn)生產(chǎn)力.。著名數(shù)學(xué)家A·Ｋaplan指出：“由于最近20年的進(jìn)步，社會科學(xué)的許多重要領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展到不懂?dāng)?shù)學(xué)的人望塵莫及的階段……”。在人類社會的發(fā)展史上，有三次重大的社會進(jìn)步是與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的。
第一次是牛頓時代的科學(xué)革命，牛頓用幾個最著名的數(shù)學(xué)公式去描繪宇宙圖景：
F=G·ｍ1m2/R2(萬有引力)
F=ma(牛頓運動定律)
還有微積分等。牛頓使科學(xué)在社會上取得重要地位，成為18世紀(jì)思想啟蒙運動的先導(dǎo)者之一。
第二次是達(dá)爾文進(jìn)化論影響了他的表弟哥爾頓發(fā)展了相關(guān)及回歸的概念，孟德爾遺傳規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展引發(fā)了數(shù)理統(tǒng)計的建立和發(fā)展，今天，統(tǒng)計數(shù)學(xué)已成為發(fā)展的重要工具。
第三次，也是最近的，就是計算機的產(chǎn)生與發(fā)展，導(dǎo)致了人類社會的重大變化，人類已由過去的工業(yè)經(jīng)濟(jì)進(jìn)入到信息化時代，以致知識經(jīng)濟(jì)時代。
數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式。數(shù)學(xué)中的根本矛盾，在于數(shù)學(xué)從純粹形態(tài)上研究現(xiàn)實形式和關(guān)系。數(shù)學(xué)發(fā)展過程中不斷出現(xiàn)矛盾又不斷解決矛盾。數(shù)學(xué)本身由于研究變數(shù)而進(jìn)入辯證法的領(lǐng)域。數(shù)學(xué)在推動可持續(xù)發(fā)展、實現(xiàn)科技進(jìn)步最優(yōu)化、經(jīng)濟(jì)發(fā)展等方面都有不可替代的作用。美國國家研究委員會所屬的數(shù)學(xué)委員會在一份報告中，曾就數(shù)學(xué)科學(xué)對于經(jīng)濟(jì)競爭力的生死攸關(guān)性給出了六點說明，以說明數(shù)學(xué)在技術(shù)轉(zhuǎn)移中的作用。
四、數(shù)學(xué)文化的美學(xué)觀
數(shù)學(xué)文化的美學(xué)觀是構(gòu)成數(shù)學(xué)文化的重要內(nèi)容。古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯斷言：“哪里有數(shù)，哪里就有美。”開普勒也說，“數(shù)學(xué)是這個世界之美的原型”。對數(shù)學(xué)文化的審美追求已成為數(shù)學(xué)得以發(fā)展的重要原動力。以致法國詩人諾瓦利也曾高唱：“純數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，同時也是一門藝術(shù)”，“既是科學(xué)家同時又是藝術(shù)家的數(shù)學(xué)工作者，是大地上唯一的幸運兒�！惫磐駚�，許多數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家都把“美”作為決定選題、選題標(biāo)準(zhǔn)和成功標(biāo)準(zhǔn)的一種評價尺度，甚至把“美的考慮”放在高于一切的位置。著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就曾寫道：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要都是美學(xué)的。”龐加萊則更明確地說：“數(shù)學(xué)家們非常重視他們的方法和理論是否優(yōu)美，這并非華而不實的作風(fēng)，那么，到底是什么使我們感到一個解答、一個證明優(yōu)美呢？那就是各個部分之間的和諧、對稱，恰到好處的平衡。一句話，那就是井然有序、統(tǒng)一協(xié)調(diào)，從而使我們對整體以及細(xì)節(jié)都能有清楚的認(rèn)識和理解，這正是產(chǎn)生偉大成果的地方。
數(shù)學(xué)家L•斯思也曾指出：“在數(shù)學(xué)定理的評價中，審美的標(biāo)準(zhǔn)既重于邏輯的標(biāo)準(zhǔn)，也重于實用的標(biāo)準(zhǔn)；美觀與高雅對數(shù)學(xué)概念的評價來說，比是否嚴(yán)格正確、是否可能應(yīng)用都重要得多。”顯然，這種“美學(xué)至上”的觀點是片面的。因為，數(shù)學(xué)的“審美標(biāo)準(zhǔn)”與“實踐的標(biāo)準(zhǔn)”事實上是互相聯(lián)系的，而且，美學(xué)的考慮之所以有意義，主要也就因為它能預(yù)示相應(yīng)的研究是否會“富有成果”。
審美追求作為數(shù)學(xué)發(fā)展的重要原動力，其中一個主要內(nèi)容就是創(chuàng)造性的需要，它起著一種激活作用。馮·諾伊曼說：“數(shù)學(xué)家成功與否和他的努力是否值得的主觀標(biāo)準(zhǔn)，是非常自足的、美學(xué)的、不受(或近乎不受)經(jīng)驗的影響�！币虼�，馮·諾伊曼斷言：“數(shù)學(xué)思想一旦……被構(gòu)思出來，這門科學(xué)就開始經(jīng)歷它本身所特有的生命，把它比作創(chuàng)造性的、受幾乎一切審美因素支配的學(xué)科，就比把它比作別的事物特別是經(jīng)驗科學(xué)要更好一些。”可見，審美作為一種支配因素，對數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展是多么重要。
數(shù)學(xué)美的主要內(nèi)容一般反映在對稱美、簡潔美、奇異美等方面。
高等數(shù)學(xué)發(fā)展到今天，數(shù)學(xué)內(nèi)容和含意高度抽象深刻，符號也愈益豐富。例如：
∝正比于；
甚大于；
a≡b(modm)a與b對模m同余(即a-b被m整除)；
∮沿正方向閉路積分；
一切的、所有的、任意的，對于每一個；
存在、至少有一個。
當(dāng)你掌握了這些語言的時候，就會更加體會到數(shù)學(xué)符號的精煉、準(zhǔn)確、簡潔，無懈可擊，更了解數(shù)學(xué)美。據(jù)說，大數(shù)學(xué)家高斯有一個思維特點，他的著作力求簡潔、清晰、優(yōu)美。他時常提醒要求自己“把每一種數(shù)學(xué)討論壓縮成最簡潔優(yōu)美的形式”。
奇異美就是數(shù)學(xué)文化中的創(chuàng)造性美。培根說：“沒有一個極美的東西不是在調(diào)和中有著某些奇異!”的確如此。比如說，在數(shù)學(xué)中，
曲線上的奇點，微分方程的奇解，線性代數(shù)中的奇異矩陣，分析中的奇異積分，奇異函數(shù)(即廣義函數(shù)———分布)，復(fù)變函數(shù)中
的孤立奇點等所帶給我們的美學(xué)思考，很值得研究。其中不少奇異之處恰好是最值得注意的地方。談到數(shù)學(xué)的奇異美，是不能不講歐拉的e-2πi=1
在這里，我們不能把它簡單地看成只是一個公式而已。事實上，只要我們稍微仔細(xì)分析，就會發(fā)現(xiàn)它的神奇和不可思議。
“1”是實數(shù)中最基本的單位，有豐富的內(nèi)涵，它是整數(shù)的單位，數(shù)字的始祖。是真分?jǐn)?shù)(純小數(shù))和整數(shù)的分水嶺。遠(yuǎn)古人類能抽象出1這個概念的時候，便是數(shù)學(xué)的真正萌芽。1也可以代表事物的整體，或者各部分的總體，甚至整個宇宙，這就是所謂“渾一”。
i是復(fù)數(shù)的基本單位，它來源于解二次方程x+1=0，長期被人們認(rèn)為不可捉摸。 π是圓周率。一位德國數(shù)學(xué)家指出：“在數(shù)學(xué)史上，許多國家的數(shù)學(xué)家都找過更精密的圓周率，因此，圓周率的精確度可以作為衡量一個國家數(shù)學(xué)發(fā)展水平的標(biāo)志�！�
奇異美是建立在求異思維的基礎(chǔ)上的。比如，有理數(shù)稍一擴展，新數(shù)就被稱為“無理”的；實數(shù)再一擴展，新數(shù)就被叫做“虛”的。實數(shù)之后出現(xiàn)“超實數(shù)”，復(fù)數(shù)之后出現(xiàn)“超復(fù)數(shù)”，有窮數(shù)之后又有“超窮數(shù)”……
和諧是數(shù)學(xué)美的最高境界。實際上，和諧就是一個度，是一種中庸的最佳狀態(tài)。比例是關(guān)于模數(shù)與整體在測量上的協(xié)調(diào)。比例給人一種和諧，莫過于黃金分割法。 數(shù)學(xué)所討論的宇宙，遠(yuǎn)比現(xiàn)實的所謂宇宙宏偉雄大；通常所說的宇宙只是三維空間，而數(shù)學(xué)則建立起了僅把3維空間作為一部分的4維空間、5維空間、……、n維空間。數(shù)學(xué)是一座遠(yuǎn)遠(yuǎn)地超越了我們想象的華麗宮殿，站在這個無比莊嚴(yán)、宏偉的宮殿前的數(shù)學(xué)家們，以崇敬贊嘆的目光遠(yuǎn)眺著它的壯觀、它的美妙，那些能夠感受到這種數(shù)學(xué)美、宇宙美的人，是可以被稱之為愛因斯坦所謂的“有宇宙宗教性的人”。
五、數(shù)學(xué)文化的創(chuàng)新觀
H·Ｈankel說過：“在大多數(shù)科學(xué)里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，一個人所樹立的另一個人要加以摧毀。只有數(shù)學(xué)，每一代人都能在舊建筑上增添一層樓。”數(shù)學(xué)文化幾千年的發(fā)展實踐已經(jīng)充分說明了這一點。為什么說數(shù)學(xué)能夠不斷建立起新的樓層？數(shù)學(xué)是一門創(chuàng)造性的學(xué)科，一方面它是一種創(chuàng)造性的活動，另一方面它為自然現(xiàn)象提供合理的結(jié)構(gòu)，這是其他學(xué)科所望塵莫及的。創(chuàng)新是數(shù)學(xué)文化發(fā)展的強大活力，沒有創(chuàng)新，數(shù)學(xué)就會停滯不前。
數(shù)學(xué)是人類科學(xué)文化中的基礎(chǔ)性學(xué)科之一，它具有典型的學(xué)科獨立性，不受其他學(xué)科的制約，它不像物理、化學(xué)、天文等受制于數(shù)學(xué)，缺少一種獨立性。數(shù)學(xué)的創(chuàng)新特點主要有兩個方面：一是原創(chuàng)性(發(fā)明和發(fā)現(xiàn))，二是繼承性(亦即創(chuàng)造性地去完善)。
原創(chuàng)性，是指數(shù)學(xué)文化在其形成過程中的一些最基本的原理和內(nèi)容，這些內(nèi)容不是由其他學(xué)科延伸發(fā)展過來的，而是由人們在生產(chǎn)實踐中直接發(fā)明或發(fā)現(xiàn)的。這種原創(chuàng)性得到許多著名學(xué)者和大師的公認(rèn)。愛因斯坦在1940年美國科學(xué)會議的報告中，甚至這樣給物理學(xué)下了一個定義：“在我們的全部知識中，那個能夠用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的部分，就劃為物理學(xué)的領(lǐng)域。隨著科學(xué)的進(jìn)步，物理學(xué)的領(lǐng)域擴張到這樣的程度，它似乎只為這種方法本身的界限所限制�！蔽殷w會，這種方法就是指數(shù)學(xué)的方法。后來他又講過：“理論物理學(xué)家越來越不得不服從于純數(shù)學(xué)的形式的支配”，理論物理的“創(chuàng)造性原則寓于數(shù)學(xué)之中�！�
我們講數(shù)學(xué)的原創(chuàng)性特色，是就它的思想源、輻射源而言的。眾所周知的歐氏幾何的公設(shè)、定義、定理都具有典型的原創(chuàng)性。比如關(guān)于點、線(直線)、面、圓的定義等就充分反映了這種原創(chuàng)性。這些內(nèi)容直到今天，人們?nèi)匀皇褂�，具有明顯的原創(chuàng)性特色。另外，笛卡爾關(guān)于坐標(biāo)的建立，也是一項非凡的創(chuàng)造性工作。笛卡爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)方法超出他的對象之外。他說：“它是一個知識工具，比任何其他由于人的作用而得來的知識工具更為有力，因而他是所有其他知識工具的源泉。”正是由于數(shù)學(xué)文化的原創(chuàng)性，所以它對其他新興學(xué)科也起到了重要的支撐作用。
繼承性(創(chuàng)造性地去完善)，與原創(chuàng)性創(chuàng)新相比，繼承性創(chuàng)新同樣具有不可忽視的作用，特別是對推動科學(xué)發(fā)展具有重要價值。比如，歐氏幾何是原創(chuàng)性的工作，它把數(shù)學(xué)變成一門不依賴經(jīng)驗主義的純粹科學(xué)。但是，2000多年來，歐氏幾何仍然有很多缺陷，甚至是嚴(yán)重缺陷，一直困擾著學(xué)術(shù)界。直到希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》1899年出(下接第58頁)
(上接第57頁)版，才從根本上修正了這些缺陷，建立起新的幾何學(xué)基礎(chǔ)。
再比如：20世紀(jì)中葉的查德創(chuàng)立了模糊集合論，這也是一項原創(chuàng)性的工作。爾后，人們又在此基礎(chǔ)上建立了模糊測度，模糊拓?fù)涞�。盡管這些工作是繼承性的，但它對推動學(xué)科發(fā)展作用很大。實際上，一門學(xué)科的完善、發(fā)展，繼承性創(chuàng)新工作不可忽視。因為一門學(xué)科的完善，特別是作為支撐這門學(xué)科的那些關(guān)鍵性理論框架結(jié)構(gòu)、定理、定律、公式、模型等，往往要經(jīng)過反復(fù)推敲、改進(jìn)、驗證，使其越來越清晰、明了、簡潔，不僅方便推廣和深入人心，同時在科學(xué)研究和生產(chǎn)實踐中發(fā)揮更大作用。像20世紀(jì)六七十年代華羅庚教授對優(yōu)選法的推廣就是最好的例證。
六、結(jié)語
從文化的角度去看數(shù)學(xué)，是一個新問題，因此，本文的一些看法、設(shè)想只能是一家之言。不過我相信，一旦你踏進(jìn)數(shù)學(xué)文化的門檻，就會驚奇地發(fā)現(xiàn)這是一個美侖美奐的奇異世界。而本文所提及的一些東西還只是隔岸觀火的皮毛，相信隨著人們對數(shù)學(xué)文化的深入研究，一定會呈現(xiàn)給人類一個更加精彩的世界。
[1]編譯 愛因斯坦文集 商務(wù)印書館，1976：1362
[2王梓坤。面向21世紀(jì)的中國數(shù)學(xué)教育。南京：江蘇教育出版社，1994：343
[3斯蒂恩主編。今日數(shù)學(xué)。上�？茖W(xué)技術(shù)出版社，1982：384
[4鄧東皋等編。數(shù)學(xué)與文化。北京大學(xué)出版社，1990：41
(該文發(fā)自《自然》雜志2001年第1期，《新華文摘》轉(zhuǎn)發(fā)內(nèi)容摘要) (2003-06-26)
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