典型的是，對于20世紀出現(xiàn)的兩次物理學革命——廣義相對論和量子物理學，數學都為它們的誕生事先準備好適當的工具。更具體地講，那就是黎曼幾何學和泛函分析。這就不由得令物理學家威格驚呼“數學的不可思議的有效性”（威格納 E·Wigner，1902—1995，是1963年諾貝爾物理學獎的獲得者）。其實這只不過是“新數學”鋒芒小試而已，以后這類事還多著呢！

隨便舉兩個例子：一個是群論在分子原子結構理論中的應用，一個是纖維叢在規(guī)范場理論中的應用，只不過它們都不在M·克萊因的論述范圍之內。細心的讀者會注意到《西方文化中的數學》止于非歐幾何(第26章)，而狹義相對論(第27章)用的還是經典數學。可是在《數學與知識的探求》中，他已經推進到廣義相對論和量子力學，而且就此止步。正如《古今數學思想》一樣，他的時限設在1930年。對于這之前的數學與物理，這本書做了十分精彩的哲學概括。這些思想實際上已經深入到我們心中，成為我們認識世界的基礎。

1907年，德國數學家閔可夫斯基（H. Minkowski，1864－1909）提出“閔可夫斯基空間”，為愛因斯坦狹義相對論提供了合適的數學模型。有了閔可夫斯基時空模型后，愛因斯坦又進一步研究引力場理論以建立廣義相對論。 

 在廣義相對論中，愛因斯坦 (Einstein, 1879－1955) 使用了黎曼幾何和能量計算。但是，這些智力工具并非是為物理學而建立的，它早已在純數學內部發(fā)展起來。這類工具的出現(xiàn)早于愛因斯坦使用它們的時候。黎曼(Riemann, 1826－1866) 引進了現(xiàn)在稱為黎曼微分幾間的數學理論，在黎曼空間中，人們可以計算各種距離，可以有各種曲率的概念。人們習慣于把能量計算同里奇 (Ricci, 1853－1925) 的名字聯(lián)系起來，利用它可以處理各種幾何量及其在坐標變換下的變化。張量計算變得為人熟知則是由于愛因斯坦把它用于1916年發(fā)表的廣義相對論中。愛因斯坦是從格羅斯曼 (Grossman, 1878－1936) 那里學到這種技術的。

另一個例子是在希爾伯脫空間中有關自軛變換的譜分裂的理論。這個理論的重要部分，即連續(xù)自軛算符的理論，是希爾伯脫 (Hilbert, 1862－1943) 以純數學理論的形式建立的，它也不是從物理觀測中得出的，但它們對于表述量子定律是必需的。

第三個例子是理論物理中的弦理論。在這個理論中，人們不止一次地用到抽象的和新發(fā)展的數學理論。威格納（Wigner）寫道：數學的巨大用途有些近乎神秘，不存在任何合理的解釋。正是數學概念的這些令人吃驚的用途激發(fā)了統(tǒng)一我們的物理理論的要求 [Wigner 1960:2]。我們還可援引戴森 (Dyson) 的話：對于物理學家來說，數學不僅是用以計算各種現(xiàn)象的工具，而且還是使新理論得以建立的概念和原理的主要源泉 [Dyson 1968]。

不過，數學家并不總是成功的。按照戴森的說法，數學家曾多次錯過推進科學的機會[Dyson 1972]。例如，麥克斯韋（Maxwell，1831－1879）方程發(fā)表于1873年，它為數學家提供了極其有意義的工作領域, 但卻沒有受到足夠重視。如果他們立即著手研究這個問題，他們也許會比愛因斯坦早幾十年發(fā)現(xiàn)相對論。

這個大膽的斷言是基于如下的概念：麥克斯韋方程在某種變換群下形式不變。這個群一般說來是數學的重要課題。麥克斯韋方程在洛侖茲群下是不變的，而牛頓力學的方程則是在另一種群即伽利略 群下不變的。人們發(fā)現(xiàn)，洛侖茲群比伽利略群在數學上更簡單，更優(yōu)雅。假如人們早去研究這個群的數學性質，他們也許會發(fā)現(xiàn)狹義相對論。