蘋果樹下散步討論問題結(jié)出的果實

希爾伯特他們?nèi)�人都對�?shù)學有濃厚的興趣，每天下午“準5點”都會在校園旁邊的蘋果樹下相聚，邊散步邊討論數(shù)學問題。有時他們也會爭得面紅耳赤。一天曾有一位訪問學者偶然經(jīng)過這里，聽到有爭吵聲，他駐足觀看發(fā)現(xiàn)有三位年輕人正在激烈地爭論著數(shù)學問題，并沒有注意有其他人路過這里。

后來希爾伯特回憶這段生活時說，“日復一日的散步中，我們?nèi)�都埋頭討論當前數(shù)學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃�！彼麄�?nèi)�人中，赫維茨有著廣泛堅實的基礎(chǔ)知識，又經(jīng)過很好的整理，所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。希爾伯特發(fā)現(xiàn)這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍。這種例行的散步一直持續(xù)了整整八年半之久，他們以這種悠然有趣的學習方式探索了數(shù)學的“每一個角落”，并思考著數(shù)學未來的發(fā)展。希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結(jié)成了終身的友誼”。

其實這就是希爾伯特之所以能夠在1900年提出23個數(shù)學問題背后的故事，這些問題都是他們在散步時討論過的，希爾伯特把他們的討論的內(nèi)容又做了深入的思考和整理。 蘋果樹下的散步結(jié)出了豐碩的成果。 

理性的洞察力

希爾伯特的一生都充滿了理性的精神。在柯尼斯堡市政會授予他“榮譽市民”稱號的儀式上，希爾伯特作了“認識自然和邏輯”的著名演說。他從宣布“認識自然和生命是我們的最高任務”的論題開始，論及到自然客體、經(jīng)驗事實、邏輯思維、理論表述在人類認識自然中的地位和作用，人類認識自然的途徑、機制和法則，以及數(shù)學在認識自然中的地位。希爾伯特的演說，充滿著哲理，閃爍著理性地看待自然的光輝，引人入勝，感染著眾多的聽眾。

希爾伯特在數(shù)學研究中的理性精神，充分表現(xiàn)在他對“數(shù)學問題”在數(shù)學研究活動中的作用和地位的認識上。歷史上眾多的數(shù)學家整天忙于解決數(shù)學問題，但常常對數(shù)學問題本身的認識論問題缺乏反思。1888年希爾伯特成功地解決了代數(shù)不變量中的“哥爾丹問題”，1898年又成功地解決了變分法中的“狄利克雷原理問題”。這兩個問題都是當時著名的數(shù)學難題，它們的解決對數(shù)學這兩個分支領(lǐng)域的發(fā)展起了積極的作用。

希爾伯特切身地體驗到：重大的個別問題是數(shù)學的活的血液；單個重大問題的解決，其意義遠遠超出了問題的本身。接著，他對數(shù)學問題的一般認識論意義進行了深刻的反思。1900年他被特邀在巴黎第二屆國際數(shù)學家大會上作了“數(shù)學問題”的演說。在這篇著名的演說中，他論述了“數(shù)學問題對數(shù)學發(fā)展的推動作用”，論述了“數(shù)學問題產(chǎn)生的源泉”，論述了“解答數(shù)學問題的一般要求和途徑”等認識論和方法論問題。

接著，他在總結(jié)19世紀數(shù)學研究成果和發(fā)展趨勢的基礎(chǔ)上，在世紀之交向全世界的數(shù)學家們提出了“二十三個數(shù)學問題”，他認為這些問題可能是20世紀數(shù)學領(lǐng)域中最活躍、最關(guān)鍵、最有影響的課題。20世紀以來數(shù)學發(fā)展的歷史表明，這些問題涉及到現(xiàn)代數(shù)學的許多重要領(lǐng)域，引起了數(shù)學界持久的關(guān)注，對20世紀數(shù)學發(fā)展的確起了重要的指導作用。不管哪位數(shù)學家，若能解決其中一個問題，就能在數(shù)學家共同體內(nèi)獲得一個榮譽地位。