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但是，談起２０世紀(jì)的數(shù)學(xué)，我想，至少應(yīng)該記住三個(gè)人的名字：龐加萊、希爾伯特和馮·諾伊曼，他們是２０世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家。龐加萊是非線性數(shù)學(xué)（如現(xiàn)代時(shí)髦的渾沌理論）的奠基人以及當(dāng)代數(shù)學(xué)女王——拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)建者。馮·諾伊曼被稱為“計(jì)算機(jī)之父”和現(xiàn)代計(jì)算數(shù)學(xué)的奠基人，而數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)和對(duì)策論（一譯博奕論）也由他首先取得突破的。而對(duì)２０世紀(jì)主流數(shù)學(xué)——結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)有巨大影響的當(dāng)屬希爾伯特�！�
希爾伯特通過(guò)兩條途徑對(duì)２０世紀(jì)數(shù)學(xué)施加影響：一條是通過(guò)自己遍及數(shù)論、代數(shù)、幾何、分析以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作，一條是通過(guò)提出并研究數(shù)學(xué)前沿的問(wèn)題指出未來(lái)數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。他之所以能做到這點(diǎn)，除了他的天才和格廷根的優(yōu)美環(huán)境之外，就要?dú)w結(jié)為他的獻(xiàn)身精神——熱愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱望，不斷地去深入理解數(shù)學(xué)的任何一個(gè)部門�？傊箶�(shù)學(xué)成為生活中不可或缺的東西。筆者在格廷根的檔案館中發(fā)現(xiàn)他的記錄和筆記中，有一部分是他取得博士學(xué)位以后，訪問(wèn)國(guó)內(nèi)國(guó)外知名數(shù)學(xué)家的記錄；另有三大本筆記，詳細(xì)記錄他提出的各種問(wèn)題以及對(duì)各種問(wèn)題的思考；而他在１９００年８月８日關(guān)于《數(shù)學(xué)問(wèn)題》的報(bào)告顯然不是急就章，而是長(zhǎng)年思考積累的結(jié)果。
希爾伯特的報(bào)告不是大會(huì)報(bào)告，而是數(shù)學(xué)史組的分組報(bào)告，從這個(gè)意義上來(lái)講，那時(shí)人們的確重視科學(xué)發(fā)展的歷史，而也正是這種重視歷史的心態(tài)，才使這些最偉大的數(shù)學(xué)家成就其歷史的偉業(yè)。從另外一個(gè)意義上來(lái)講，希爾伯特的２３個(gè)問(wèn)題是一個(gè)繼往開(kāi)來(lái)的文獻(xiàn)，說(shuō)它繼往，是它總結(jié)了１９世紀(jì)幾乎所有未解決的重要問(wèn)題；說(shuō)它開(kāi)來(lái)，是這些問(wèn)題的確推動(dòng)了２０世紀(jì)數(shù)學(xué)的進(jìn)步。因此各數(shù)學(xué)大國(guó)，美國(guó)、前蘇聯(lián)、日本以及法國(guó)、德國(guó)和英國(guó)的數(shù)學(xué)家或組織起來(lái)或單獨(dú)研究希爾伯特問(wèn)題的歷史和現(xiàn)狀，并進(jìn)一步提出新的問(wèn)題。這里我們也極簡(jiǎn)單地概括一下，欲知其詳，則有待于專著的問(wèn)世。
希爾伯特的２３個(gè)問(wèn)題分屬四大塊：第１到第６問(wèn)題是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題；第７到第１２問(wèn)題是數(shù)論問(wèn)題；第１３到第１８問(wèn)題屬于代數(shù)和幾何問(wèn)題；第１９到第２３問(wèn)題屬于數(shù)學(xué)分析。從順序上講，顯然希爾伯特把自己的重點(diǎn)放在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，他自己的工作也正為締造數(shù)學(xué)大廈牢固的基礎(chǔ)而努力。從１９世紀(jì)末希爾伯特已致力把數(shù)學(xué)建立在少數(shù)公理的基礎(chǔ)上。他還是集合論最早的少數(shù)支持者之一，把數(shù)學(xué)建立在集合論基礎(chǔ)上成為他的夢(mèng)想。這可以解釋他為什么把集合論頭號(hào)問(wèn)題——連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列為自己的第１問(wèn)題。
希爾伯特通過(guò)自己的工作包括他的基礎(chǔ)問(wèn)題對(duì)于２０世紀(jì)數(shù)理邏輯的發(fā)展起了決定性的影響。但是希爾伯持的綱領(lǐng)卻由于哥德?tīng)枺保梗常澳甑牟煌耆远ɡ矶荒軐?shí)現(xiàn)，從此數(shù)理邏輯走向獨(dú)特的發(fā)展道路。從新的觀點(diǎn)看，第１、第２以及第１０問(wèn)題屬于數(shù)理邏輯的范圍，第３、第４、第５、第６屬于較為具體的學(xué)科。從某種意義來(lái)講，這些問(wèn)題可以說(shuō)都在不同程度上得到解決。
數(shù)論這一塊是希爾伯特本人在１９００年之前最為關(guān)注的領(lǐng)域，他本人的工作對(duì)這領(lǐng)域的發(fā)展也有決定性的影響。出乎他本人的預(yù)料，第７問(wèn)題在他在世時(shí)已經(jīng)解決，而第８問(wèn)題的黎曼猜想?yún)s至今還距離完全解決尚遠(yuǎn)，成為未來(lái)世紀(jì)數(shù)學(xué)家的頭號(hào)難題。由第１２問(wèn)題衍生出的朗蘭茲（ＬａｎｇＬａｎｄｓ）綱領(lǐng)，更是遠(yuǎn)未解決，而其它４個(gè)問(wèn)題可以說(shuō)已經(jīng)基本解決。
�。玻笆兰o(jì)的代數(shù)學(xué)已由方程論和不變式論發(fā)展為抽象代數(shù)學(xué)或近世代數(shù)學(xué)，這條發(fā)展路線雖然同希爾伯特問(wèn)題關(guān)系不大，但的確是在希爾伯特本人工作的影響之下發(fā)展起來(lái)的。１３、１４和１７這三個(gè)代數(shù)問(wèn)題可以說(shuō)基本解決，它們也給２０世紀(jì)數(shù)學(xué)帶來(lái)新的方向。幾何的三個(gè)問(wèn)題中，第１５問(wèn)題對(duì)于代數(shù)幾何學(xué)的嚴(yán)格化有重要影響，而代數(shù)幾何學(xué)在２０世紀(jì)是一門對(duì)各方面都有巨大影響的主流學(xué)科，它的基礎(chǔ)已經(jīng)建立在交換代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上。與此相反，１６問(wèn)題前半的實(shí)代數(shù)幾何學(xué)進(jìn)展不大，盡管希爾伯特的問(wèn)題有很大進(jìn)步。１６問(wèn)題后半的極限環(huán)問(wèn)題經(jīng)過(guò)一個(gè)世紀(jì)的努力可以說(shuō)進(jìn)展甚微，具體講每一個(gè)重要進(jìn)展在多年之后都發(fā)現(xiàn)不對(duì)。１８問(wèn)題共有三問(wèn)，前兩問(wèn)已經(jīng)圓滿解決，而第三問(wèn)則發(fā)展成一個(gè)十分活躍的領(lǐng)域，特別是開(kāi)普勒（就是發(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)的三定律的那位）猜想終于在本世紀(jì)結(jié)束之前完全證明。
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希爾伯特的５個(gè)分析問(wèn)題，可以說(shuō)都基本解決。希爾伯特從１９００年起研究分析，特別是狄式原理和積分方程直接推動(dòng)偏微分方程和泛函分析的發(fā)展�？傊柌兀玻硞�(gè)問(wèn)題有４個(gè)問(wèn)題仍是下世紀(jì)的大問(wèn)題（第８、第１２、１６Ｂ、１８Ｃ），而其他問(wèn)題則應(yīng)在基本解決的基礎(chǔ)上提出更多更新的問(wèn)題�！�
回顧一個(gè)世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，我們的確可以看到希爾伯特通過(guò)他自己的工作和提出的問(wèn)題，把２０世紀(jì)數(shù)學(xué)帶上一條健康發(fā)展的道路。當(dāng)然，即使像希爾伯特這樣的數(shù)學(xué)巨人，也自然會(huì)有他的局限性。他基本上沒(méi)有涉及龐加萊的組合拓?fù)涞墓ぷ�，Ｅ·嘉�?dāng)關(guān)于李代數(shù)的工作以及黎曼幾何與張量分析和群表示論的研究。但是，他的工作和他的問(wèn)題同２０世紀(jì)特別是上半世紀(jì)一半以上的數(shù)學(xué)研究有聯(lián)系。
而到２０世紀(jì)末，數(shù)學(xué)已發(fā)展成如此龐大的領(lǐng)域，已經(jīng)找不到一個(gè)人來(lái)提出全面數(shù)學(xué)問(wèn)題的清單，他的工作需要幾十人來(lái)代替。這些領(lǐng)袖人物雖然不像希爾伯特那樣廣博，但決不是狹窄領(lǐng)域的專家，他們都多少繼承希爾伯特的基因，在學(xué)科交叉上看到數(shù)學(xué)未來(lái)的前沿。而這正預(yù)示著下一世紀(jì)數(shù)學(xué)輝煌的前景，也是解決老問(wèn)題，提出新問(wèn)題的關(guān)鍵所在。
希爾伯特的２３個(gè)問(wèn)題簡(jiǎn)介
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