蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉朵夫（1891-1983），從1934年至1983年一直擔(dān)任蘇聯(lián)科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所的所長。他對韋爾和的估計(jì)方法及以素?cái)?shù)為變數(shù)的指數(shù)和估計(jì)方法自30年代以來，對數(shù)論發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。他在堆壘數(shù)論方面得到不少深刻的結(jié)果，尤其是他對奇數(shù)的哥德巴赫猜想的基本解決及關(guān)于華林問題的結(jié)論是最為有名。

維諾格拉朵夫的主要成就是發(fā)表在30年代，這也是華羅庚進(jìn)入數(shù)論研究的高峰時(shí)期。他認(rèn)真學(xué)習(xí)了維諾格拉朵夫的方法，雖然華羅庚是自學(xué)維諾格拉朵夫方法的。但他對這個(gè)方法的了解和貢獻(xiàn)卻不在旁人之下。維諾格拉朵夫在他的書《數(shù)論中的三角和方法》的序言中，提到這個(gè)方法是我與柯坡爾特、朱達(dá)柯夫、華羅庚及其他人一起合作得出的。

華羅庚最重要的數(shù)論工作當(dāng)然還是他自己獨(dú)創(chuàng)性的工作。

華氏定理

華氏定理（1940）命q是一個(gè)正整數(shù)，f(x)=a_kx^k+...+a₁x 為一個(gè)k次整系數(shù)多項(xiàng)式且最大公約（a_k, ...,a₁,q）=1,則對于任何 ε>0皆有

華氏定理溯源于高斯（C.F. Gauss）他首先引進(jìn)f(x)=ax² 的特例情況，

即所謂高斯和: S(q, ax²),(a,q)=1,

并得到估計(jì) S(q, ax²)=O(q^1/2 ).

高斯引進(jìn)并研究高斯和的目的在于給出初等數(shù)論中非常重要的二次互反律一個(gè)證明。以后，不少數(shù)學(xué)家企圖推廣高斯和及他的估計(jì)，但他們只能對特殊的多項(xiàng)式所對應(yīng)的S(q, f(s))，取得成功，這一歷史名題直到1940年，才由華羅庚解決。

華氏定理是臻于至善的，即誤差主階1-1/k 已不能換成一個(gè)更小的數(shù)。這只是取f(x)=x^k 及 q=p^k ，p為素?cái)?shù)，就可以知道。所以依維諾格拉朵夫稱贊華氏定理是驚人的。

華氏定理的直接應(yīng)用是，可以處理比希爾伯特一華林定理更為廣泛的問題：

命N為一個(gè)正整數(shù)，f_i(x)(1<=i <=s )是首項(xiàng)系數(shù)為正的k次整值多項(xiàng)式 ，

考慮不定方程 N = f₁(x₁)+...+f_s(x_s)                                     (1)

的求解問題，特別取f₁(x)+...+f_s(x) = x^k 即得

N =x₁^k +...+x_s^k     .                       (2)

1770年，華林提出猜想：當(dāng)s>=s₀(k) , (2)有非零非負(fù)整數(shù)解 。華林猜想是希爾伯特于1900年證明的。于是華林猜想就成了著名的希爾伯特一華林定理，但用希爾伯特方法所能得到的s₀(k)將是很大的 ，20年代以后，哈代、李特伍德與依·維諾格拉朵夫用圓法及指數(shù)和估計(jì)法對s₀(k)作了精致的定量估計(jì)。用華氏定理基本上可以將依·維諾格拉朵夫關(guān)于華林問題的重要結(jié)果推廣至不定方程（1）, 即假定（1）滿足必須滿足的條件，則當(dāng)s>=s₀ =O(Klog K)及N充分大時(shí), （1）有非零非負(fù)整解。當(dāng) s >=  s₀^'=O(K²log K) 時(shí) ，方程（1）的解數(shù)有一個(gè)漸近公式。

華氏不等式

華氏不等式(1938)命N 為一個(gè)正整數(shù)，f(x)為一個(gè)k次整系數(shù)多項(xiàng)式，則 T(a)=∑_x=1^Ne(af(x))，

則對于任何ε>0及1<=j<=k  時(shí)皆有     

華氏不等式的直接應(yīng)用為不定方程（1），由圓法來處理方程（1），則首先需將方程（1）的解數(shù)表示成(0,1), 上的一個(gè)積分 ，然后將(0,1)分成互不相交的優(yōu)孤與劣孤之并, 優(yōu)孤上的積分給出（1）的解數(shù)的主項(xiàng)，需證明劣孤上的積分是一個(gè)低階項(xiàng) ，從而可以忽略不計(jì)，這樣就得到了解數(shù)漸近公式。華羅庚證明了f_i(x)（1<=i<=s）假定。為滿足必須滿足的條件的k次整值多項(xiàng)式 ，則當(dāng)s >= 2^k +1 時(shí)，方程（1）的解數(shù)有一個(gè)漸近公式。特別對于華林問題，即方程（2），當(dāng)s >= 2^k +1 時(shí)，對充分大的N，有非尋常非負(fù)解，且解數(shù)有漸近公式。當(dāng)k <=10時(shí)，這一結(jié)果是華林問題的最佳結(jié)果 。直到半個(gè)世紀(jì)之后，基于對華氏不等式的某些改良，沃恩（R.F.Vaughan）與希斯布朗（D.R. Heath-Brown ）才能對華羅庚關(guān)于華林問題的結(jié)果作點(diǎn)改進(jìn)，但他們所用的方法卻繁得多了。

基于華羅庚關(guān)于解析數(shù)論的基本方法，即關(guān)于指數(shù)和估計(jì)的華氏定理與華氏不等式，再加上依· 維諾格拉朵夫的韋爾 （H. Weyl）和估計(jì)與關(guān)于素?cái)?shù)變數(shù)的指數(shù)和估計(jì)，華羅庚系統(tǒng)地研究了不定方程及其他堆壘問題的求解問題，并限制變數(shù) x₁,x₂,...x_s均取素?cái)?shù)值。華羅庚的結(jié)果總結(jié)在他的專著《堆壘素?cái)?shù)論》中，這本書被譯成俄文、英文、德文、匈牙利文與日文，它是圓法、指數(shù)和估計(jì)及其應(yīng)用方面最重要的經(jīng)典著作之一 。