1736年的克里斯蒂安•哥德巴赫的一封來信，引起了歐拉對數(shù)論的極大的興趣 。此前歐拉與哥德巴赫一直保持著很好的關系，他們之間有多年密切的通信聯(lián)系。最初哥德巴赫告訴歐拉許多有關費馬未證明的猜想，并引起了歐拉的注意。哥德巴赫被數(shù)論問題深深地吸引住了，但是，他的熱情遠遠超過了他的才能。開始，歐拉似乎無意研究這些問題，但是，由于他自己無止境的好奇心和哥德巴赫的堅持，歐拉終于涉足其間。不久，他就被數(shù)論，特別是被費馬一系列未證明的猜想深深地迷住了。

正如現(xiàn)代作家兼數(shù)學家安德烈•韋爾所述，“……在歐拉（有關數(shù)論）的著作中，有相當一部分旨在證明費馬的猜想�！痹诖酥�前，歐拉的數(shù)論著作在他的《全集》中已占了整整四大卷。人們認為，在他的科學生涯中，即使沒有其他成就，這四卷著作也足以使他躋身于歷史上最偉大的數(shù)學家之列。

歐拉對數(shù)論的貢獻

例如，費馬曾推測，某些素數(shù)可以寫成兩個完全平方數(shù)之和，歐拉對此作出了證明。顯然，除2以外，其它所有素數(shù)都是奇數(shù)。當然，如果我們用4去除一個大于4的奇數(shù)，我們一定會得到余數(shù)1或3（因為4的倍數(shù)或4的倍數(shù)加2是偶數(shù)）。我們可以更簡明地說，如果p＞2是素數(shù)，那么，或則p=4k＋1，或則p=4k＋3（k是整數(shù)）。

1640年，費馬曾猜想，第一種形式的素數(shù)（即4的倍數(shù)加1）可以并且只能以一種方式寫成兩個完全平方數(shù)之和的形式，而形如4k＋3的素數(shù)則無論以什么方式都不能寫成兩個完全平方數(shù)之和。

這是一個獨特的定理。例如，素數(shù)193=（4×48）＋1可以以一種唯一方式寫成兩個平方數(shù)之和。對本例，我們可以很容易地證明，193=144+49=122＋72，而其他任何形式的平方和都不能等于193。另一方面，素數(shù)199=（4×49）+3絕對無法寫成兩個平方數(shù)之和的形式，這同樣可以通過列出所有可能的形式來證明其不可能性。因此，我們在這兩種形式的（奇）素數(shù)之間，就其表達為兩個平方之和而言，發(fā)現(xiàn)了根本的差別。這是一個無法預料或憑直覺預測的性質(zhì)。

但歐拉在1747年對此作出了證明。

歐拉對所有偶完全數(shù)的問題也現(xiàn)出了極大興趣，同時也顯示他是一個真正的數(shù)論天才。還有他關于親和數(shù)這個問題的研究。親和數(shù)是一對具有下列性質(zhì)的數(shù)字：一個數(shù)字的所有因數(shù)之和恰好等于第二個數(shù)字，而第二個數(shù)字所有因數(shù)之和也同樣等于第一個數(shù)字。親和數(shù)早在古代就引起了數(shù)學家的興趣，他們認為親和數(shù)具有神秘的“超數(shù)學”色彩。即使在現(xiàn)代，親和數(shù)也因其獨特的互逆性質(zhì)游弋在數(shù)字學的偽科學中。

古希臘人已知道數(shù)字220和284是親和數(shù)。即，220的所有因數(shù)是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，這些因數(shù)加起來恰好等于284；同樣，284的所有因數(shù)是1、2、4、71和142，它們加起來等于220。但遺憾的是，當時的數(shù)字學家們還不知道有其他的親和數(shù)，直至1636年，費馬才證明出17，296和18，416構(gòu)成了第二對親和數(shù)。（實際上，這對親和數(shù)早已為阿拉伯數(shù)學家班納（1256—1321年）所發(fā)現(xiàn)，比費馬早300多年，但是，在費馬時代，西方人還不知道這一對親和數(shù)的存在。） 1638年，笛卡兒或許是為了與費馬爭勝，驕傲地宣布他發(fā)現(xiàn)了第三對親和數(shù)：9，363，584和9，437，056。

在歐拉開始研究這個問題之前的一百年間，親和數(shù)的研究一直停滯不前。1747年至1750年期間，歐拉發(fā)現(xiàn)了122，265和139，815以及其他57對親和數(shù)，這樣，他獨自一人就使世界已知親和數(shù)增加了近20倍！歐拉之所以能夠取得這樣的成果，是因為他找到了生成親和數(shù)的方法，并用這種方法生成了親和數(shù)。

至此，我們可以就我們對歐拉數(shù)論的簡要評述作一個總結(jié)。如前所述，本章的這些定理最直接地表明了歐拉在數(shù)論領域的巨大影響。誠然，他是站在天才的前輩、特別是站在費馬的肩膀上。但是，歐拉的研究，不可估量地豐富了這一數(shù)學分支，并使他自己躋身于第一流的數(shù)論學家之列。