華羅庚是國際上享有盛譽的數學家，他的研究領域涉及多元復變數函數、數論、代數及應用數學等，在每一個領域都取得了杰出的成果，有許多以他的名字命名的定理、引理、不等式、算子與方法，并培養(yǎng)了一批優(yōu)秀的學生。1956年獲得國家自然科學獎一等獎，1990年與王元共獲陳嘉庚物質科學獎。他被選為美國科學院國外院士、第三世界科學院院士、聯邦德國巴伐利亞科學院院士，被法國南錫大學、香港中文大學與美國伊利諾伊大學授予榮譽博士學位。2002年美國科學院出版了華羅庚傳。

已故數學大師華羅庚院士是中國科學院數學研究所的創(chuàng)始人。他關于典型域上多元復變數函數論的研究，于1956年獲得第一屆國家自然科學獎一等獎。

華羅庚1958年在科學出版社出版了《多復變函數論中典型域上的調和分析》一書。此書的初稿完成于1954年，是申請一等獎的依據。此書一出版就引起了國際上的高度重視。首先是蘇聯科學院Steklov數學研究所于同年來函要求將此書翻譯成俄文出版（但由于蘇聯人同時精通中文及數學的不多，請華羅庚先譯成英文，再由他們譯成俄文出版）。英文版是1963年從俄文版再翻譯成英文，由美國數學會出版的。英文版出版后，此書受到國際數學界的普遍關注和高度評價，成為該領域研究的必然要引用的書籍。丘成桐教授（菲爾茲獎、瑞典科學院卡拉夫獎、美國國家科學獎獲得者）說，華羅庚這方面的研究成果領先世界十年。

華羅庚對多元復變函數的研究始于40年代抗戰(zhàn)時期。當時的昆明西南聯合大學，條件非常艱苦，華羅庚住在人畜共舍的牛棚樓上。白天日寇飛機經常來轟炸，空襲時華羅庚仍在防空洞里看資料。他想把單復變數的自守函數理論推廣到多元復變函數。有一次日機的炸彈將防空洞炸塌，把他和正在看的書埋在土中，聽說是段學復（現北京大學教授、中國科學院院士）把他和書從泥土中挖出來的。這本書是德文的單復變數自守函數的書。華羅庚這種臨危不懼、專心研究的精神，實為后世科學研究者的楷模。

與此同時，在大洋彼岸的普林斯頓，有一位因不滿法西斯排猶而離開德國的大數學家及天體力學家西格爾，也想把單復變數的自守函數理論推廣到多復變數。由于單復變數的自守函數的主要理論是在單位圓內討論，他們不約而同地考慮與單位圓最相近的有界對稱域上的自守函數理論。在有界對稱域上，多復變數可用矩陣來表示，便于構造自守函數的級數表達及其基本域。此外，單復變數的自守函數論與單位圓的非歐幾何密切相關，所以他們也就不約而同地從研究典型域的幾何開始。西格爾這方面的第一篇文章“辛幾何”1943年發(fā)表在《美國數學年刊》，華羅庚的文章“矩陣變數的自守函數論”1944年發(fā)表在同一期刊。實際上，兩人差不多是同時投稿，但華羅庚的稿件在二戰(zhàn)時期從昆明寄到美國要歷經幾個月。西格爾后來把注意力轉向天體力學，不過他研究天體力學的方法是源出于他“辛幾何”的文章。辛幾何是現在國際上最熱門的幾何研究方向之一。

1997年獲國家自然科學一等獎的已故院士馮康，曾對筆者說，他關于辛算法的工作與西格爾的天體力學及華羅庚發(fā)表在《美國數學會集刊》上的文章“在辛群下超圓的分類”有密切關系。戰(zhàn)后西格爾回德，受到德國科學界的高度尊敬。他在60年代寫過三卷“函數論”講義，其中引用華羅庚及其學生的文章有十幾篇之多。

華羅庚戰(zhàn)后去美國，繼續(xù)研究多復變函數。他1946年在美國《數學年刊》上發(fā)表的文章“多復變函數的自守函數”成為經典著作，為研究自守函數的名家所必引用。多復變數自守函數理論現已發(fā)展成為現代數學最重要的研究方向之一。解決費馬大定理的威爾士，曾在Langland的討論班中獲益匪淺。而Langland就是目前多復變數自守函數的權威人士，他在普林斯頓高等研究所主持的討論班，一直是圍繞著多變數的自守形式（自守函數的推廣）進行。此外，華羅庚在上述文章中引進了一個微分度量，現在被稱為華羅庚度量。

華羅庚于1950年毅然回國，當時才40歲，正值盛年。新中國成立后的最初十年，是他精力最充沛的十年，主要從事的研究仍然是多復變函數。他的主要工作之一就是多復變數典型域上的調和分析。

富氏分析是最早的調和分析，問世以來在工程與物理領域有廣泛的應用，數學家也進行了深入的研究。人們自然會考慮把富氏分析推廣到多個變數，或者把微分方程推廣為算子的情形。在實際應用上也有此需要，例如量子力學要考慮算子特征值與特征向量。

在華羅庚之前，富氏分析的推廣多是平行推廣，如考慮多個單位圓周的拓撲積情形，或抽象地證明某些空間的完備正交歸一系的存在。這對實際的應用是遠遠不夠的。如上所述，華羅庚早就認識到單變數的自守函數的推廣是典型域上的自守函數。同樣，他認為單位圓上的調和分析的推廣是典型域上的調和分析。他用群表示理論具體構造了典型域上的絕對值平方可積全純函數的一組完備正交歸一函數系。群表示論與正交系的關系并非華羅庚首先發(fā)現，但能夠具體地找出非顯然的例子的所有不可約表示并計算其正交化所需的各種常數，應是始于華羅庚在50年代初期的工作。這使得調和分析在60年代熱門起來。

調和分析領域的權威、普林斯頓大學教授斯坦，在一次學術會議上，當著華羅庚和他的學生的面說，“我是華的名譽學生”。他是使華羅庚成為美國科學院外籍院士的推薦人之一。

華羅庚在把一個表示化為適合所需條件的不可約表示時，使用了兩個奇妙的代數恒等式。他是怎樣想出這兩個恒等式的，筆者只能驚嘆他是天才。但華羅庚從不認為自己是天才，這只好歸于他有敏銳的數學直覺。此外，正交歸一化所需的常數要用到很多矩陣積分的計算，他以驚人的技巧把許多復雜的矩陣積分計算出來。這些技巧后來被理論物理學家廣為應用。

在談到矩陣積分時，不能不說到他引進的矩陣極坐標。最初他是為了計算矩陣積分而引進的，但后來發(fā)現體積元素的矩陣極坐標的表達式與李代數根系的計算有密切關系，使后人對一些根系的計算變得大為容易。矩陣極坐標對于對稱空間的幾何研究也十分有用。

華羅庚用典型域的矩陣方法考慮數學物理問題是鮮為人知的，但筆者有幸知道，他60年代初期在中山大學講學的一份講義就是用矩陣的方法來處理狹義相對論的。狹義相對論的未來光錐就是第四類典型域的特征流形。從華羅庚獲獎的書中知道，當n = 4時Bergman核函數可以寫成1 / deg Z的若干次方的形式，是一個次調和函數。他的學生的學生周向宇解決“擴充未來光錐管域猜想”的證明中，重要的一步就是要構造一個在擴充未來光錐管域的次調和函數，上述函數就是。這一著如果不是華派的弟子是難以想到的。由于解決這一猜想，俄國科學院Steklov數學研究所授予周向宇俄國國家科學博士學位，這是有史以來中國人從俄國獲得的第三個科學博士。

在上面提到的講義中，華羅庚還曾用矩陣的方法處理Dirac算子，準備對Dirac算子的熱核進行研究。我們知道，從70年代到今天，從指標定理到Seiberg—Witten方程，都與Dirac算子的研究有關，對數學與理論物理產生了巨大的影響。華羅庚的思想是超前的。

撰稿人：中國科學院院士，數學與系統科學研究院研究員 陸啟鏗 

華羅庚考慮典型域上方程△u = -λu的調和分析，其中△是Laplace—Beltrami算子。這首先要弄清楚λ= 0的情形，此時u稱為調和函數。與通常的情況大不一樣，典型域上的△是一個變系數的微分算子（后被稱為華算子）。除了球體的情形外，給定典型域邊界的一部分便有唯一的解，但任意給予整個邊界值，解不一定存在。這是橢圓微分方程理論的一個重大發(fā)現。對于球體的情形，華羅庚也有重要的發(fā)現，就是△u = 0在球內是橢圓型，在球外是雙曲型，在球面上是拋物型。這對混合型微分方程的研究，起了很大的推進作用。華羅庚的調和函數論不僅適用于典型域，而且適用于非緊的黎曼對稱空間。這個理論是系統的、完整的，其成果總結在1959年《中國科學》國慶十周年特刊“典型域的調和函數論”（與陸啟鏗合作）長篇文章中，但基本的思想在他獲獎的書中已經提出來了。此后，國內外不少人繼續(xù)做推廣工作。華羅庚研究多元復變函數的方法，有濃厚的中國特色，在國外他和他的學生被稱為華羅庚學派。

對于緊致的流形，△u = 0只有常數解。研究△u = -λu的解，首先要知道特征值λ可能是什么。這也是調和分析的問題，是60年代以后國際上最熱門的問題之一。他的學生和學生的學生在這方面做過很好的工作。無怪乎丘成桐教授說，華羅庚的工作領先世界十年。