回憶我的老師華羅庚先生——紀(jì)念華老誕辰90周年

徐利治

前言 

華羅庚先生是55年前我在昆明西南聯(lián)合大學(xué)求學(xué)時(shí)代的老師。2000年11月12日是華老的90周年誕辰，華老的許多弟子和朋友都到了他的故鄉(xiāng)江蘇省金壇市，參加了隆重的紀(jì)念活動(dòng)。作為華老的一個(gè)老學(xué)生，我能有機(jī)會(huì)應(yīng)邀作了一次回憶華老的報(bào)告，真感到異常興奮而榮幸。當(dāng)天大會(huì)中的不少發(fā)言，都說(shuō)到了華老往年的音容笑貌和對(duì)學(xué)生們的嚴(yán)謹(jǐn)而親切的教導(dǎo)，一切猶如歷歷在目，都懷有不勝感激之情。

一、 50年前的片斷回憶 

正如王元的著作《華羅庚》一書(shū)中所說(shuō)，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)年代的西南聯(lián)合大學(xué)是一個(gè)“藏龍臥虎”之地。當(dāng)年我前往昆明求學(xué)之前，已從報(bào)紙上得知自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家華羅庚以其著名的《推壘素?cái)?shù)論》榮獲教育部的一等獎(jiǎng)。另外，還從報(bào)刊上讀到有關(guān)他的艱苦奮斗歷史和一些有趣的故事。那時(shí)候我正好自學(xué)了一本胡睿濟(jì)編著的《整數(shù)論初步》，略知數(shù)論是一門(mén)優(yōu)美而精深的學(xué)科，所以我在西南聯(lián)大數(shù)學(xué)系學(xué)完了兩年課程之后，很自然地懷著高度崇敬的心情，選修了華先生的“初等數(shù)論”課程。后來(lái)還學(xué)了他開(kāi)設(shè)的必修課“近世代數(shù)”。記得兩門(mén)課我都得到了90分的最好成績(jī)。 

華先生講課姿態(tài)很靈活，喜歡在黑板前面走來(lái)走去，邊走邊講。他在黑板上寫(xiě)字不多，只寫(xiě)出那些最必要的算式，而很注重講問(wèn)題的來(lái)龍去脈和論證思想，有時(shí)也穿插講點(diǎn)小故事。所以聽(tīng)他講課我感到是一種愉快的享受。

有一次華先生應(yīng)俞大維部長(zhǎng)（抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期的“國(guó)防部長(zhǎng)”）之邀出差去重慶期間，曾讓他的助教閔嗣鶴先生來(lái)領(lǐng)導(dǎo)我們分頭報(bào)告他編寫(xiě)好的各章數(shù)論講義。我努力把華先生的一章講義弄懂之后，很高興地報(bào)告了三次，曾得到閔先生贊許。這對(duì)我后來(lái)喜愛(ài)數(shù)學(xué)教學(xué)無(wú)形中起到了積極的鼓勵(lì)作用。 

在我的印象里華先生并不看重考試。他教我們兩門(mén)課程時(shí)，一次考試也沒(méi)有。當(dāng)然，學(xué)生們對(duì)他這樣的老師是很歡迎的。但他要求我們必須作一批他所指定的習(xí)題，最后根據(jù)作題的表現(xiàn)狀況給我們打分?jǐn)?shù)定成績(jī)。這樣，無(wú)疑是體現(xiàn)了對(duì)青年學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與自覺(jué)性的尊重和鼓勵(lì)。我想，正因?yàn)槿A先生本人是自學(xué)成才的，所以他看重人的主動(dòng)自覺(jué)性也就很自然的了。 

1945年我從大學(xué)畢業(yè)后，有幸被留校作華先生的助教。每星期批改一次由華先生授課的近世代數(shù)班的習(xí)題本。記得當(dāng)年學(xué)生中有一位來(lái)自香港的優(yōu)秀青年名叫陳國(guó)才，他的習(xí)題做得特別好，可以預(yù)見(jiàn)他是最有前途的。后來(lái)，他果然成為海外華裔的杰出數(shù)學(xué)家，但不幸英年早逝了。多年前香港數(shù)學(xué)會(huì)通訊上還有專(zhuān)門(mén)文章紀(jì)念他。 

記得當(dāng)年華先生講課的主要特點(diǎn)是，他總是盡力把題材化繁為簡(jiǎn)，化難為易。有時(shí)也對(duì)一些數(shù)學(xué)定理及其證法的妙處，贊嘆幾句。他曾不只一次地對(duì)我說(shuō)：“高水平的教師總能把復(fù)雜的東西講簡(jiǎn)單，把難的東西講容易。反之，如果把簡(jiǎn)單的東西講復(fù)雜了，把容易的東西講難了，那就是低水平的表現(xiàn)�！边@些話是使我終生難忘的。 

還有一次在講近世代數(shù)課時(shí)，他對(duì)大家說(shuō)，他在步行來(lái)校的路上才真正想通了“許耳引理”（Schur’s lemma）的妙處。一位著名的數(shù)學(xué)教授，竟能在學(xué)生們面前毫無(wú)保留地表白對(duì)一個(gè)著名定理的體會(huì)過(guò)程，真使大家更加敬重他的坦誠(chéng)性格和求實(shí)精神。

二、華先生的治學(xué)經(jīng)驗(yàn)及名言 

華先生很重視做學(xué)問(wèn)需要有“看家工夫”。所謂看家工夫指的是作科研時(shí)必不可少的最基本而有用的本事。據(jù)他所說(shuō)，他的扎實(shí)的看家工夫主要來(lái)源于三部經(jīng)典著作。一是克里斯托爾（G.Chrystal）的《代數(shù)學(xué)》，二是蘭道（E.Landau）的《數(shù)論教程》（三大卷），三是特恩波爾（W.H.Turnbull）與愛(ài)德肯（A.C.Aitken）合著的《標(biāo)準(zhǔn)矩陣論》。他說(shuō)，《代數(shù)學(xué)》使他學(xué)會(huì)了計(jì)算技巧，《數(shù)論教程》使他獲得了從事數(shù)學(xué)研究的分析功底，而《標(biāo)準(zhǔn)矩陣論》雖是一本薄薄的書(shū)，卻是幫助他后來(lái)完成“矩陣幾何”和“復(fù)分析”巨大研究成果的基本工具。

記得北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前系主任段學(xué)復(fù)教授，50年代在清華大學(xué)任教時(shí)期曾對(duì)我說(shuō)過(guò)，據(jù)他所知華先生在青年時(shí)代即精讀蘭道的三卷巨著，共作了6大本筆記，可見(jiàn)其功夫之深�！稑�(biāo)準(zhǔn)矩陣論》這本老書(shū)，曾由華先生傳給了閔嗣鶴先生，后來(lái)又由閔先生傳給了我。至今保存在我家已有50余年了。從這本老書(shū)中還可以看到當(dāng)年身為名教授的華先生曾作過(guò)書(shū)中習(xí)題的痕跡。 

19世紀(jì)初葉的杰出數(shù)學(xué)家阿貝爾（N.H.Abel）曾有這樣的經(jīng)驗(yàn)和見(jiàn)解：“只有直接面向名家的原著才能最有效地取得寶貴的知識(shí)和智慧。”顯然華先生成功的經(jīng)歷與阿貝爾的成才經(jīng)驗(yàn)及見(jiàn)解是完全一致的。 

讀到讀書(shū)的方法問(wèn)題，華先生自有一套深刻的獨(dú)到見(jiàn)解。我們?cè)�多次�?tīng)他說(shuō)過(guò)“讀書(shū)要從薄到厚，再?gòu)暮竦奖　钡牡览怼．?dāng)然這也是他自己讀書(shū)成功的經(jīng)驗(yàn)之談。  

 他的經(jīng)驗(yàn)是，首先要作好讀書(shū)筆記，筆記中要補(bǔ)充書(shū)中的不足之處，包括補(bǔ)足定理證明的缺陷等等。還要選作書(shū)中的習(xí)題。這樣就好象是把薄書(shū)讀成厚書(shū)了。他還說(shuō)過(guò)：“讀數(shù)學(xué)書(shū)而不作習(xí)題，真好象是入寶山而空返�！边M(jìn)一步是要努力提煉出書(shū)中題材的基本要點(diǎn)和核心內(nèi)容以及論證方法的關(guān)鍵所在。因?yàn)橐�點(diǎn)、核心和關(guān)鍵經(jīng)過(guò)分析、概括和徹底理解后也就會(huì)變成直觀上一目了然的東西，顯然只須用極小的篇幅即可記錄下來(lái)，所以厚書(shū)也就變成薄書(shū)了。

對(duì)待探索性科學(xué)研究，華先生認(rèn)為在工作過(guò)程中出現(xiàn)些差錯(cuò)是常有的事。他說(shuō)：“只有廟宇里的菩薩才不會(huì)出錯(cuò)誤，凡是研究工作做得越多的人，出現(xiàn)差錯(cuò)的機(jī)會(huì)也就會(huì)越多。”這和法國(guó)已故分析學(xué)大師阿達(dá)瑪（J.Hadamard）的觀點(diǎn)正好是不謀而合的，真是英雄所見(jiàn)略同。阿達(dá)瑪曾在他的著作《數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的發(fā)明心理學(xué)》一書(shū)中說(shuō)過(guò)，“在數(shù)學(xué)中我們不怕出錯(cuò)誤，實(shí)際上錯(cuò)誤是經(jīng)常發(fā)生的�！彼�還說(shuō)：“就他自己（阿達(dá)瑪）而言，所發(fā)生的錯(cuò)誤往往比他的學(xué)生所發(fā)生的錯(cuò)誤還多。但由于他總是不斷地加以改正，故在最后的結(jié)果中，就不會(huì)再留有這些錯(cuò)誤的痕跡�！� 

事實(shí)上，從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究工作，一般都免不了要經(jīng)歷“猜測(cè)—不斷試證—不斷糾錯(cuò)—確證真理”等步驟，所以杰出的數(shù)學(xué)家們都會(huì)有雷同的經(jīng)驗(yàn)和觀點(diǎn)也就不足為奇了。 

數(shù)十年前當(dāng)華先生在數(shù)學(xué)上取得卓越的重大成就而享有盛譽(yù)之后，一般人常把華先生稱(chēng)贊成“天才”。實(shí)際上他個(gè)人并不認(rèn)可“天才”的說(shuō)法。記得有兩次他曾和我談?wù)摰接嘘P(guān)人類(lèi)智力的看法。他認(rèn)為一般正常人的天賦智能其實(shí)是差別很小的。但由于人們實(shí)際生活環(huán)境與條件的不同，智能被開(kāi)發(fā)的程度不同，才使人們的智能在表現(xiàn)上有所差別。他常說(shuō)他自己的科學(xué)工作成就主要靠勤奮，還常用“勤能補(bǔ)拙”的成語(yǔ)來(lái)勉勵(lì)我們。 

往年，在昆明西南聯(lián)大時(shí)代，每次我去華先生家拜訪求教時(shí)，總是看到他安然自若地坐在一個(gè)吃飯用的大方桌邊作研究。我的印象是，他喜歡在飯桌上寫(xiě)作，而并沒(méi)有固定的書(shū)房和寫(xiě)字臺(tái)，也沒(méi)有象樣的沙發(fā)椅。 

我做他的助教時(shí)，他曾問(wèn)我：每天工作幾小時(shí)？我回答說(shuō)“大概每天搞數(shù)學(xué)三至四小時(shí)吧�！彼�說(shuō)：“這么少時(shí)間搞數(shù)學(xué)怎么夠！工人每天還要工作八小時(shí)呢�！甭�(tīng)他這么一說(shuō)，我真是很感慚愧，心想：做老師的每天工作時(shí)間比我的兩倍還多。 

三、華先生的工作特色與價(jià)值觀 

華先生在數(shù)論、代數(shù)、幾何與復(fù)分析等領(lǐng)域的卓越成就及貢獻(xiàn)，已在王元的《華羅庚》傳中作了很好的介紹。這里我只想從宏觀的角度談一些華先生工作的主要特色與有關(guān)的價(jià)值觀念。這對(duì)繼續(xù)發(fā)展我國(guó)的數(shù)學(xué)教育來(lái)說(shuō)，應(yīng)該會(huì)有相當(dāng)?shù)膮⒖純r(jià)值。

從華先生的許多著作可以看出，他豐碩的數(shù)學(xué)工作成果所反映的“價(jià)值觀”主要表現(xiàn)為：追求簡(jiǎn)易、重視技巧、尋求顯式、堅(jiān)持構(gòu)造和看重應(yīng)用。所以在一定程度上，華先生和著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比（C.G.J.Jacobi）、克羅內(nèi)克（L.Kronecker）以及蘭道頗有類(lèi)似的工作特色。就善于用初等方法處理艱難問(wèn)題的這種本事來(lái)看，他又和杰出的已故匈牙利數(shù)學(xué)家愛(ài)爾特施（P.Erdos）十分相似。 

大家知道，杰出的分析家蘭道的寫(xiě)作風(fēng)格是：簡(jiǎn)潔、精巧和嚴(yán)謹(jǐn)。華先生對(duì)此極為贊賞。事實(shí)上，華先生的著述和作文也很象蘭道的風(fēng)格。然而，又因?yàn)槿A先生還有很好的文學(xué)底子，所以他的那些表現(xiàn)在科普作品的寫(xiě)作技藝方面，卻不是蘭道可比的。 

在科研工作中，為獲取創(chuàng)新成果，華先生很象歐拉和高斯那樣，十分重視計(jì)算、觀察、歸納和分析。他曾對(duì)我說(shuō)過(guò)，如果想了解他的研究工作全過(guò)程，那就最好從他桌旁的紙簍里去找出他的大量草稿紙來(lái)看。當(dāng)年我雖然沒(méi)有那樣去做，但我從華先生的言談中，以及后來(lái)讀了歐拉和高斯的傳記之后，就逐漸領(lǐng)悟到他們的科研工作方法實(shí)際上是極為相似的。我并未問(wèn)過(guò)華先生是否讀過(guò)高斯傳記，但平時(shí)聽(tīng)他的言談，確切得知他對(duì)高斯的“從歸納到論證”的思想方法是極為通曉而崇敬的。 

在看待數(shù)學(xué)工作成果的價(jià)值時(shí)，華先生對(duì)“數(shù)學(xué)思想”和“數(shù)學(xué)技巧”兩個(gè)方面是并重的。有時(shí)甚至把數(shù)學(xué)思想放到更高地位。例如，他曾不只一次地對(duì)我談到了“數(shù)學(xué)家”與“數(shù)學(xué)匠”的兩個(gè)不同概念。他的意思是說(shuō)，數(shù)學(xué)家應(yīng)該是既有高明的創(chuàng)新思想，又有高明的方法技巧。如果只重視技巧而缺乏高明思想那就至多只能成為數(shù)學(xué)匠了。當(dāng)然，為了解決大量有一定應(yīng)用價(jià)值的理論與實(shí)際問(wèn)題，能精心細(xì)作的數(shù)學(xué)匠隊(duì)伍也是非常需要的。

 此外，華先生還很強(qiáng)調(diào)“聯(lián)想”在數(shù)學(xué)創(chuàng)造性研究過(guò)程中的作用。這里我想起了半個(gè)世紀(jì)前的一個(gè)真實(shí)故事。記得1946年春云南省發(fā)生“昆明事變”之后不久，我去昆明郊外華家看望華先生時(shí)，他告訴我說(shuō)，城里響了幾天槍炮聲，他是閉院不出，天天在院子里躺在帆布床上仰觀天空中的白云變幻，忽然有一次由聯(lián)想使他得到了一個(gè)美妙的數(shù)學(xué)新思想。他沒(méi)有談?wù)摷?xì)節(jié)，但我知道那個(gè)時(shí)期正是他科研的高產(chǎn)時(shí)期，每年都有不少佳作寄往美國(guó)發(fā)表。例如，那時(shí)期他在美國(guó)的好友徐賢修先生曾在一次來(lái)信中告訴他，他在美國(guó)一年內(nèi)發(fā)表的多篇論文的總頁(yè)數(shù)多達(dá)一百數(shù)十頁(yè)。

上述真實(shí)故事也正好說(shuō)明了，華先生的一個(gè)數(shù)學(xué)新思想（或數(shù)學(xué)靈感）產(chǎn)生的機(jī)遇和宋代大文豪歐陽(yáng)修所說(shuō)的“三上文章”的經(jīng)驗(yàn)是非常相似的。歐陽(yáng)修曾說(shuō)過(guò)，他的佳作都是“三上文章”，那就是在“馬上”、“廁上”和“枕上”形成文思后產(chǎn)生的文章。如此看來(lái)，產(chǎn)生文學(xué)靈感和數(shù)學(xué)靈感的心理機(jī)制及情境條件可能是一模一樣的。 

正如國(guó)內(nèi)外一些數(shù)學(xué)家所評(píng)述，華先生和印度天才數(shù)學(xué)家拉馬努金（S.Ramanujan, 1887-1920）頗有不尋常的相似之處：（i）他們都出生于東方文明古國(guó)的清貧家庭。（ii）他們都是自學(xué)成才的數(shù)學(xué)人物。（iii）他們都是精于演算技巧并且對(duì)于“數(shù)學(xué)的形式結(jié)構(gòu)”都具有特別悟性的計(jì)算大師。例如，拉馬努力金特別擅長(zhǎng)于無(wú)窮連分式與無(wú)窮乘積等解析式子的算法技巧，并有一種獨(dú)特的直覺(jué)力使他能猜到或驗(yàn)證許多精美奇妙的公式，而為世人所贊嘆。相似地，華先生操作矩陣運(yùn)算就象是擺弄普通數(shù)字那樣得心應(yīng)手，因而能順捷地得到了“矩陣幾何”等方面的一系列極為優(yōu)美的構(gòu)造性成果，而為數(shù)學(xué)界所稱(chēng)道。

然而，拉馬努金由于長(zhǎng)期食物營(yíng)養(yǎng)不良而英年早逝。他的工作成果始終保持著某種原創(chuàng)性的獨(dú)特個(gè)性，而他未能發(fā)展成為一個(gè)完全成熟了的能進(jìn)入數(shù)學(xué)主流中去的數(shù)學(xué)家。華先生的情況則有所不同。他一生中雖然遭受過(guò)王元著作中所說(shuō)的“三大劫難”，但總算具有較強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)能力，以致能活到75歲。他的博學(xué)多聞、勤奮努力加悟性，還使他的工作活動(dòng)能融合到世界數(shù)學(xué)主流中去，所以終于成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)事業(yè)的奠基者和領(lǐng)航人。

一般理論數(shù)學(xué)家往往只顧研究，不愿多談應(yīng)用。華先生與眾不同，他一貫強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，并且身體力行，為推廣數(shù)學(xué)應(yīng)用而效力。例如，70年代前后他帶領(lǐng)工作組不知疲勞地在國(guó)內(nèi)各地大力推行簡(jiǎn)易實(shí)用的“優(yōu)選法”，為生產(chǎn)實(shí)際部門(mén)創(chuàng)造了很可觀的經(jīng)濟(jì)效益，那確實(shí)是十分感人的事績(jī)。作為華先生多年助手的國(guó)家計(jì)量學(xué)院前院長(zhǎng)謝庭藩教授，在金壇市的紀(jì)念活動(dòng)中，還專(zhuān)門(mén)介紹了華先生及其弟子們?cè)诮y(tǒng)籌與優(yōu)選法方面的理論貢獻(xiàn)。足見(jiàn)華先生對(duì)貌不驚人的應(yīng)用課題也同樣是懷有巨大熱忱的。 

四、后記 

我有幸從青年時(shí)代起就從華先生那里獲得了終生難忘的教益：一是向他學(xué)到了不怕計(jì)算和樂(lè)于計(jì)算的精神。正是這種精神幫助我培育了一些“硬分析”工夫。二是在他的教學(xué)與科研風(fēng)格影響下，使我較早地形成了“追求簡(jiǎn)易”和“重視顯式結(jié)構(gòu)”的觀點(diǎn)。這些觀點(diǎn)對(duì)我后來(lái)研究函數(shù)逼近論與計(jì)算數(shù)學(xué)以及組合數(shù)學(xué)都是大有幫助的。三是華先生的興趣廣泛性格以及對(duì)治學(xué)方法的見(jiàn)解，啟發(fā)我養(yǎng)成了愛(ài)讀數(shù)學(xué)發(fā)展史和科學(xué)方法論的習(xí)慣。這樣，終于使我有機(jī)會(huì)能在1980年左右開(kāi)始在國(guó)內(nèi)三所大學(xué)講授“數(shù)學(xué)方法論”課程，并于1983年出版了一本頗為暢銷(xiāo)的《數(shù)學(xué)方法論選講》�，F(xiàn)今此書(shū)已有第三版問(wèn)世。 

記得抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利前一年，華先生曾應(yīng)邀出差去重慶（抗戰(zhàn)時(shí)期的陪都）為當(dāng)時(shí)的國(guó)防部門(mén)解決一個(gè)關(guān)于日軍軍用密碼的破譯問(wèn)題。華先生以其卓越的慧眼很快識(shí)破日軍密碼的轉(zhuǎn)換工具即數(shù)論中的麥比烏斯（Mobius）公式。這一令人驚喜的信息，曾鼓舞了我與當(dāng)年的概率論課程老師鐘開(kāi)萊先生（現(xiàn)為美國(guó)斯坦福大學(xué)終身教授）合作寫(xiě)成一篇用麥比烏斯反演公式求解一類(lèi)組合概率計(jì)算問(wèn)題的文章（發(fā)表于1945年美國(guó)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)年刊）。后來(lái)我自己以及與我的年青合作者又一起在海內(nèi)外發(fā)表了數(shù)篇有關(guān)廣義麥比烏斯反演公式及其應(yīng)用的論文。飲水思源，這一切都要感謝當(dāng)年華先生的知識(shí)傳授與啟示。 

最后要說(shuō)的是，在我大學(xué)畢業(yè)時(shí)，正是由華先生的推薦和當(dāng)年數(shù)學(xué)系主任楊武之先生的首肯，才使我有機(jī)會(huì)留校從事數(shù)學(xué)工作。實(shí)際上這也是使我后來(lái)能享有漫長(zhǎng)的“數(shù)學(xué)生涯”并能得到順利發(fā)展機(jī)會(huì)的人生關(guān)鍵一步。所以今天來(lái)紀(jì)念我的已故老師時(shí)，很自然地懷有一種深深的崇敬和銘感之情！

我衷心祝愿有志于數(shù)學(xué)科學(xué)事業(yè)的年青一代繼承和發(fā)揚(yáng)華老艱苦奮斗、刻苦鉆研、無(wú)私奉獻(xiàn)的精神，將為我國(guó)的科技與科教事業(yè)作出更大貢獻(xiàn)。

大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所

我這篇報(bào)告的主要內(nèi)容，已以“回憶我的老師華羅庚”為題刊載在由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)普委會(huì)、北京數(shù)學(xué)會(huì)與首都師大主辦的《中學(xué)生數(shù)學(xué)》雜志上[見(jiàn)2000，11月上期]�，F(xiàn)今我又作了一些修改和補(bǔ)充，由《數(shù)學(xué)通報(bào)》和《數(shù)理天地》發(fā)表。