《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”的問題

在古代《孫子算經(jīng)》中記載著一個(gè)“物不知數(shù)”的問題，說(shuō)：有一數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余二，七七數(shù)之余二，問此數(shù)為何？《孫子算經(jīng)》還給出解這題的方法：“術(shù)曰：三三數(shù)之剩二，置一百四十；五五數(shù)之剩三，置六十三；七七數(shù)之剩二，置三十；并之，得二百三十三，以二百十一減之即得�！�

秦九韶《數(shù)書九章》卷一“大衍總數(shù)術(shù)”是《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”題算法的推廣。從“孫子問題”到“大衍總數(shù)術(shù)”關(guān)于一次同余式求解的研究,形成了中國(guó)古典數(shù)學(xué)中饒有特色的部分。這方面的研究,可能是受到了天文歷法問題的推動(dòng)。

秦九韶在書中第一次非常系統(tǒng)地介紹了一次同余方程組一般的求解方法，他提出了乘率、定數(shù)、衍母、衍數(shù)等一系列數(shù)學(xué)概念，并詳細(xì)敘述了“大衍求一術(shù)”的完整過(guò)程。至此由《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”產(chǎn)生的一次同余式問題，才有了一個(gè)真正的一般解法。這項(xiàng)研究比西方要早五百多年。

秦九韶在《數(shù)書九章》中廣泛應(yīng)用大衍總數(shù)術(shù)來(lái)解決歷法、工程、 賦役和軍旅等實(shí)際問題，在這些問題中，模數(shù)ai 并不總是兩兩互素的整數(shù)。 秦九韶區(qū)分了“元數(shù)”（整數(shù)）、“收數(shù)”（小數(shù)）“通數(shù)”（分?jǐn)?shù)）等不同情形。大衍總數(shù)術(shù) 將收數(shù)和通數(shù)化成元數(shù)情形，而對(duì)于元數(shù)非兩兩互素的情形，則給出了可靠的計(jì)算程序把問題化歸為兩兩互素的情形，這是歷史上第一次對(duì)模數(shù)非兩兩互素的同余式組的處理。 

在中國(guó)人之后，古代的印度數(shù)學(xué)家也考慮類似“孫子問題”，而歐洲是在1202年意大利數(shù)學(xué)家斐波那契寫的《算法之書》中才有兩個(gè)一次同余問題。

在歐洲，18世紀(jì)數(shù)學(xué)家歐拉和19 世紀(jì)的數(shù)學(xué)家高斯分別對(duì)一次同余組進(jìn)行過(guò)深入的研究。重新獨(dú)立地獲得與秦九韶“大衍求一術(shù)”相同的定理。高斯在1801年出版的他的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)探究》中，完整地提出了一次同余方程式組問題的理論與解法，并對(duì)模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴(yán)格證明，因此歐洲人把它稱為“高斯定理”。

而中國(guó)人從《孫子算經(jīng)》到秦九韶《數(shù)書九章》對(duì)一次同余式問題研究的成果，直到19世紀(jì)中期才被西方數(shù)學(xué)界認(rèn)識(shí)。1847年，懂漢語(yǔ)的英國(guó)傳教士偉亞力來(lái)到中國(guó)，是他在1852年把《孫子算經(jīng)》的“物不知數(shù)”和秦九韶的“大衍求一術(shù)”介紹到歐洲。1876年，德國(guó)人馬蒂生指出，中國(guó)關(guān)于一次同余組的解法與《算術(shù)探究》中的高斯定理是完全一致的。這才引起了歐洲學(xué)者對(duì)這個(gè)問題的關(guān)注。從此中國(guó)古代數(shù)學(xué)的這一成就才逐漸被世界數(shù)學(xué)界承認(rèn)，于是在西方數(shù)學(xué)史著作中被正式命名為“中國(guó)剩余定理”。

南宋數(shù)學(xué)家秦九韶是高次方程數(shù)值求解領(lǐng)域的集大成者。他在《數(shù)書九章》中,將增乘開方法推廣到了高次方程的一般情形。他將自己的方法稱為“正負(fù)開方術(shù)”。正負(fù)開方術(shù)是求高次代數(shù)方程的完整算法。這也是秦九韶的另一個(gè)重要的數(shù)學(xué)成就。

秦九韶的“正負(fù)開方術(shù)”是給出了一個(gè)機(jī)械化的迭代程序來(lái)計(jì)算新方程的系數(shù)a′0，a′1，…，a′n，這個(gè)程序與賈憲增乘程序的主要區(qū)別在于，后者在以試商由下而上累乘累加，在最后，要將所得結(jié)果從常數(shù)項(xiàng)中減去。而秦九韶的程序由于規(guī)定了“實(shí)常為負(fù)”，將整個(gè)運(yùn)算都統(tǒng)一為加法，徹底實(shí)現(xiàn)了機(jī)械化的隨乘隨加。另外秦九韶的程序也可以用來(lái)求解一般的高次方程，在他的《數(shù)書九章》一共包含了21 個(gè)高次方程，其中次數(shù)最高的是10 次方程。

“正負(fù)開方術(shù)”代表了當(dāng)時(shí)中國(guó)關(guān)于高次方程求解方法的實(shí)際水平，證明中國(guó)人對(duì)高次方程問題的研究還是處于領(lǐng)先地位的。