賈憲三角比帕斯卡三角要早600年！

賈憲，北宋人，他大約在1050年左右完成了《黃帝九章算經(jīng)細(xì)草》一書(shū)，原書(shū)已遺失，但其中一個(gè)很重要的內(nèi)容，關(guān)于求解“二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)表”的“賈憲三角”被楊輝抄錄在他的《詳解九章算法》著作中，因而這個(gè)知識(shí)才能流傳下來(lái)。曾有人把它稱為“楊輝三角”，但是楊輝在他的書(shū)中已經(jīng)很明確地說(shuō)明了此圖是“出釋鎖算書(shū)，賈憲用此術(shù)”，所以人們才改稱它為“賈憲三角”了。      

根據(jù)楊輝的摘錄，賈憲的高次開(kāi)方法是以一張稱為“開(kāi)方作法本源”的圖為基礎(chǔ)，現(xiàn)被稱作“賈憲三角”。

賈憲的“開(kāi)方作法本源圖”見(jiàn)右圖采自《永樂(lè)大典》，它是什么意思呢？它實(shí)際上是一張二項(xiàng)系數(shù)表，即（x+a）ⁿ（n =0,1,2,…,n）展開(kāi)的各項(xiàng)系數(shù)。賈憲將左右斜線上的數(shù)字1分別稱為“積數(shù)”和“隅算”，將這兩行斜線數(shù)字中藏的數(shù)字稱為“廉”，開(kāi)幾次方，就用相應(yīng)行的廉；第三行為“二”是開(kāi)平方的廉，第四行是開(kāi)三次方的廉，第五行是開(kāi)四次方的廉，等。“積”、“隅”、“廉”都是沿用中國(guó)古代開(kāi)方術(shù)語(yǔ)。

為了理解賈憲的增乘開(kāi)方法，我們首先來(lái)看一看他是怎樣獲得“開(kāi)方作法本源”圖中的各廉?dāng)?shù)的。他在“增乘方求廉法草”中給出的求賈憲三角第七行各數(shù)的方法相當(dāng)于如下程序：
1 1+5 = 6 第一位(上廉)
1 1+4 = 5 5+10 = 15 第二位(二廉)
1 1+3 = 4 4+6 = 10 10+10 = 20 第三位(三廉)
1 1+2 = 3 3+3 = 6 6+4 = 10 10+5 = 15 第四位(四廉)
1 1+1 = 2 2+1 = 3 3+1 = 4 4+1 = 5 5+1 = 6 第五位(下廉)
1 1 1 1 1 1 隅算     

就是說(shuō)將隅算1自下而上增入前位,直到首位為止,就得第一位數(shù)字(上廉)；求其他各位數(shù)字，自下而上重復(fù)剛才的程序,每次低一位為止。這是一種隨乘隨加的過(guò)程,所以叫“增乘法”。賈憲發(fā)現(xiàn),這種增乘法不僅可以用來(lái)求“開(kāi)方作法本源”圖中的各廉，而且可以被推廣用來(lái)直接開(kāi)方，這就是增乘開(kāi)方法。

賈憲不僅給出了這個(gè)圖，還給出了這個(gè)圖的簡(jiǎn)捷制作規(guī)律。從第三行(（即2次冪）開(kāi)始，兩端最邊上的數(shù)字都是1，而中間的任何一個(gè)數(shù)字都是這個(gè)數(shù)在上一行相鄰兩數(shù)的和。以第6行為例，所有中間的數(shù)字都可以如此求得，請(qǐng)看上面的示意圖： 用這樣的方法可以求出任意次冪的系數(shù)，直至無(wú)窮大。 

在賈憲之前，只能開(kāi)平方與開(kāi)立方，自從賈憲發(fā)明此表與“增乘開(kāi)方法”后，就首次開(kāi)辟了求解高次方程的真正通途。

在賈憲之后，我國(guó)數(shù)學(xué)家又進(jìn)一步探索了系數(shù)中有負(fù)整數(shù)的方程解法，最終由南宋秦九韶發(fā)明的“正負(fù)開(kāi)方法”徹底解決了這個(gè)問(wèn)題，除了楊輝的書(shū)有這個(gè)賈憲三角形，另外一本元朝朱世杰1303年寫的《四元玉鑒》，書(shū)中也有這個(gè)賈憲三角的圖，并且計(jì)算到了二項(xiàng)式的八次方。

  西方人把這種二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)的規(guī)律表稱之為“帕斯卡三角形”。比英國(guó)數(shù)學(xué)家霍納1819年求得這一解法（西方稱為“霍納法”）要早五百多年。因此這個(gè)三角形應(yīng)當(dāng)是叫“賈憲三角”是當(dāng)之無(wú)愧的。