建立維納測(cè)度

 維納是第一個(gè)從數(shù)學(xué)上深刻地研究布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)家。

1921年，他用函數(shù)空間的點(diǎn)來(lái)表示作布朗運(yùn)動(dòng)的粒子的路徑，并證明，所有這些路徑除了概率為O的集合外，都是連續(xù)但又不光滑即幾乎處處不可微的。他運(yùn)用勒貝格積分計(jì)算了這些路徑上函數(shù)的平均值。1923年，維納第一次給出隨機(jī)函數(shù)的嚴(yán)格定義，證明可以是布朗運(yùn)動(dòng)的理論模型。

維納從樣本路程的觀念出發(fā)，研究“路徑”的集合，引進(jìn)維納測(cè)度，揭示了連續(xù)而不可微函數(shù)的物理特征，故布朗運(yùn)動(dòng)又稱維納過(guò)程。維納的工作對(duì)于概率是極富成效的。它不僅給老問(wèn)題注入了新生命，更重要的是開辟了嶄新的研究領(lǐng)域，揭示了概率論和其他數(shù)學(xué)分支之間引人注目的聯(lián)系。維納的這項(xiàng)研究可以說(shuō)是現(xiàn)代概率論的開創(chuàng)性工作。現(xiàn)在把定義在連續(xù)函數(shù)空間的一種描述布朗運(yùn)動(dòng)的測(cè)度稱為維納測(cè)度，關(guān)于這個(gè)測(cè)度的積分稱為維納積分。后來(lái)，日本數(shù)學(xué)家伊藤清在此基礎(chǔ)上發(fā)展了隨機(jī)積分論。

引進(jìn)巴拿赫—維納空間：

1920年，維納將法國(guó)數(shù)學(xué)家弗雷歇關(guān)于極限和微分的廣義理論推廣到矢量空間，并給出了一個(gè)完整的公理集合。
        維納的結(jié)果與幾個(gè)星期以后發(fā)表在波蘭數(shù)學(xué)期刊上的巴拿赫的論文不謀而合，廣義的程度也分毫不差。巴拿赫構(gòu)想和發(fā)表他的理論比維納早幾個(gè)月，但兩者的獨(dú)立程度是一樣的。故這兩項(xiàng)工作一度被稱為巴拿赫一維納空間理論。維納在短時(shí)間里繼續(xù)發(fā)表了有關(guān)這方面的成果，為馮諾依曼1927年提出希爾伯特空間以及希爾伯特空間中的算子的公理方法提供了基礎(chǔ)。后來(lái)維納逐漸離開了這個(gè)領(lǐng)域，但他對(duì)泛函分析這一20世紀(jì)產(chǎn)生和蓬勃發(fā)展的新興數(shù)學(xué)分支所作出開拓性工作己載入數(shù)學(xué)史冊(cè)。

闡述位勢(shì)理論：

1923～1925年，維納對(duì)位勢(shì)理論作出基本的貢獻(xiàn)。對(duì)于給定連續(xù)邊值函數(shù)的狄利克雷問(wèn)題，得出了確切的廣義群。對(duì)于一般的緊集定義容度概念，并給出著名的正則性判據(jù)。早先關(guān)于一個(gè)區(qū)域內(nèi)部的電磁勢(shì)的概念認(rèn)為，它應(yīng)當(dāng)同邊界上給出的那些值完全一致。維納遵照他業(yè)已研究過(guò)的類似于廣義積分的概念，注意到一個(gè)區(qū)域內(nèi)部的勢(shì)可以被看作是由邊界周圍的勢(shì)的線性組合決定，即使按照這個(gè)定義在接近邊界點(diǎn)時(shí)不能給出一個(gè)連續(xù)函數(shù)邊界。這是一個(gè)嶄新的概念，維納由此大大地?cái)U(kuò)展了位勢(shì)理論的許多概念，包括電荷和電容的概念。 這一成果的意義在于，新理論認(rèn)為，一個(gè)內(nèi)點(diǎn)的勢(shì)與邊界值的關(guān)系是一種廣義積分，而不是由一種將這些內(nèi)部勢(shì)與邊界上的勢(shì)結(jié)合起來(lái)的極限過(guò)程。這就把原有關(guān)于邊界問(wèn)題的觀點(diǎn)顛倒了過(guò)來(lái)。就象數(shù)學(xué)上曾經(jīng)有過(guò)的多次觀點(diǎn)顛倒一樣，重新闡述位勢(shì)理論給多年來(lái)被一種過(guò)于因循守舊的論點(diǎn)弄得死氣沉沉的局面吹進(jìn)了一股清新的空氣。

發(fā)展調(diào)和分析

為了給亥維賽計(jì)算法建立一個(gè)扎實(shí)的邏輯基礎(chǔ)，維納走上了調(diào)和分析的新道路。1926年初他發(fā)表了這方面的第一篇論文，此后五年的工作以一篇廣義調(diào)和分析的長(zhǎng)文而達(dá)到頂峰。維納從物理學(xué)借來(lái)函數(shù)作為調(diào)和分析的鑰匙，而后又把它同通訊理論聯(lián)系起來(lái)，把寫成傅立葉變換。他獲得了現(xiàn)在所說(shuō)的光譜分布狀態(tài)。為了證明其中一個(gè)關(guān)鍵性的公式，維納在哈代和李特爾伍德的陶伯定理中提出了一種強(qiáng)有力的高度獨(dú)創(chuàng)的方法，即非零絕對(duì)收斂傅立葉級(jí)數(shù)的著名的反轉(zhuǎn)定理。這是一個(gè)具有統(tǒng)一數(shù)學(xué)抽象意義的驚人例子。維納在這方面的成果后來(lái)成為巴拿赫代數(shù)理論的基礎(chǔ)，并由此導(dǎo)出諸如素?cái)?shù)定理等結(jié)果。

發(fā)現(xiàn)維納—霍普夫方法

1930年前后。維納與天文學(xué)家霍普夫合作，共同研究一類給定在半無(wú)窮區(qū)間上的帶差核的奇異積分方程。此類方程現(xiàn)在被稱為維納—維普夫方程。維納推廣了霍普夫關(guān)于輻射平衡態(tài)的研究，于1931年得出其求解方法。其基本思想是通過(guò)積分變換，將原方程化為一個(gè)泛函方程，然后再用函數(shù)因子分解的方法來(lái)求解，因此維納—霍普夫方法又稱因子分解法。它已成為研究各種數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的一種常用方法。維納創(chuàng)造性地說(shuō)明，維納—霍普夫方程最引人注目的應(yīng)用表現(xiàn)在兩種進(jìn)程間的分界是時(shí)間上的而非空間的，這正是在預(yù)測(cè)理論的某些方面可應(yīng)用的非常適當(dāng)?shù)墓ぞ�。他進(jìn)一步指出，還有許多關(guān)于儀器研究的更一般的問(wèn)題可以用這種作用于時(shí)間的技術(shù)來(lái)解決。40年代以后，這一方程的理論在解析函數(shù)邊值問(wèn)題、調(diào)和分析和算子理論的基礎(chǔ)上得到了系統(tǒng)的發(fā)展，其應(yīng)用也從輻射問(wèn)題擴(kuò)展到許多其他領(lǐng)域，如中子遷移、電磁波衍射、控制論、多體問(wèn)題及入口理論等。

提出維納濾波理論

在第二次世界大戰(zhàn)期間，為了解決防空火力控制和雷達(dá)噪聲濾波問(wèn)題，維納綜合運(yùn)用了他以前幾方面的工作，于1942年2月首先給出了從時(shí)間序列的過(guò)去數(shù)據(jù)推知未來(lái)的維納濾波公式，建立了在最少均方誤差準(zhǔn)則下將時(shí)間序列外推進(jìn)預(yù)測(cè)的維納濾波理論。維納的這項(xiàng)工作為設(shè)計(jì)自動(dòng)防空控制炮火等方面的預(yù)測(cè)問(wèn)題提供了理論依據(jù)，并為評(píng)價(jià)一個(gè)通訊和控制系統(tǒng)加工信息的效率和質(zhì)量從理論上開辟了一條途徑。它對(duì)自動(dòng)化技術(shù)科學(xué)有重要的影響。維納在問(wèn)題中引進(jìn)統(tǒng)計(jì)因素并使用了自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)，事實(shí)證明這是極其重要的。維納濾波模型在50年代被推廣到僅在有限時(shí)間區(qū)間內(nèi)進(jìn)行觀測(cè)的平穩(wěn)過(guò)程以及某些特殊的外平穩(wěn)過(guò)程，其應(yīng)用范圍也擴(kuò)充到更多的領(lǐng)域，至今它仍是處理各種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)（如氣象、水文、地震勘探等）及預(yù)測(cè)未來(lái)的有力工具之一。

開創(chuàng)維納信息論

維納是信息論的創(chuàng)始人之一。他從帶直流電流或者至少可看作直流電流的電路出發(fā)來(lái)研究信息論，獨(dú)立于申農(nóng)，將統(tǒng)計(jì)方法引入通訊工程，奠定了信息論的理論基礎(chǔ)。維納把消息看作可測(cè)事件的時(shí)間序列，把通信看作統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上作為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其變換來(lái)研究。他闡明了信息定量化的原則和方法，類似地用“熵”定義了連續(xù)信號(hào)的信息量，提出了度量信息量的申農(nóng)—維納公式：?jiǎn)挝恍畔⒘烤褪菍?duì)具有相等概念的二中擇一的事物作單一選擇時(shí)所傳遞出去的信息。維納的這些開創(chuàng)性工作有力地推動(dòng)了信息論的創(chuàng)立，并為信息論的應(yīng)用開辟了廣闊的前景。信息論創(chuàng)立者申農(nóng)說(shuō)：“光榮應(yīng)歸于維納教授”。

創(chuàng)立控制論

維納對(duì)科學(xué)發(fā)展所作出的最大貢獻(xiàn)，是創(chuàng)立控制論。這是一門以數(shù)學(xué)為紐帶，把研究自動(dòng)調(diào)節(jié)、通信工程、計(jì)算機(jī)和計(jì)算技術(shù)以及生物科學(xué)中的神經(jīng)生理學(xué)和病理學(xué)等學(xué)科共同關(guān)心的共性問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)而形成的邊緣學(xué)科。

1947年10月，維納寫出劃時(shí)代的著作《控制論》，1948年出版后，立即風(fēng)行世界。維納的深刻思想引起了人們的極大重視。它揭示了機(jī)器中的通信和控制機(jī)能與人的神經(jīng)、感覺(jué)機(jī)能的共同規(guī)律；為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)研究提供了嶄新的科學(xué)方法；它從多方面突破了傳統(tǒng)思想的束縛，有力地促進(jìn)了現(xiàn)代科學(xué)思維方式和當(dāng)代哲學(xué)觀念的一系列變革�，F(xiàn)在，控制論已有了許多重大發(fā)展。