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在現(xiàn)代世界，幾乎所有的中小學都把數(shù)學課作為必修課，幾乎所有的著名大學都以辦成研究型大學為榮。而在當代純數(shù)學領域，大多數(shù)理論著作和教科書都是按照公理體系編撰的。當大家對這一切習以為常的時候,你有沒有想過：是誰首先提出數(shù)學應規(guī)定為必修課？是那位大學校長最先嘗試建設研究型大學？又是誰最早提出公理演繹法的初始構想？這三個問題的答案竟是同一個人,那就是生活在2350年前的一位哲人——柏拉圖。
作為哲學家，柏拉圖無疑是人類思想史上的一位巨人。然而，他的哲學思想無論在古代還是現(xiàn)代都曾引起巨大的爭議，直到今天爭議仍在繼續(xù)。但是在教育界,對于他在數(shù)學教育上的貢獻自古至今絕少爭議。可以說,他是當之無愧的最偉大的數(shù)學教育家。
下面主要圍繞上述三個問題，粗淺地談談柏拉圖的貢獻。
一、力挺數(shù)學，主張以法律規(guī)定數(shù)學為必修課
柏拉圖在其中期代表作《理想國》一書中力挺數(shù)學,反復強調數(shù)學的重要性，并主張在理想的國家里,應當以法律形式規(guī)定全體居民必須學習數(shù)學。柏拉圖著作的表現(xiàn)形式通常為蘇格拉底和他的朋友或學生間的“對話”。經(jīng)后世學者的研究
，柏拉圖的早期著作所表現(xiàn)的基本是蘇格拉底的觀點，而他的中、晚期著作所表現(xiàn)的則主要是柏拉圖本人的觀點。特別是《理想國》一書中關于數(shù)學教育的觀點完全是柏拉圖本人的觀點(蘇格拉底并不重視數(shù)學)。柏拉圖首先強調數(shù)學能提升智能
，增進才能。他借蘇格拉底之口說：“那些天性擅長算術的人，往往也敏于學習其他一切學科；而那些反映遲緩的人，如果受了算術的訓練，他們的反映也會有所改善，變得快些的，即使不談別的方面的受益。”
接著說：“算術這門學問看來有資格被用法律規(guī)定下來�！苯又劦綆缀蔚墓τ�，他舉例說,在行軍打仗中，“指揮官有沒有學過幾何學是大不一樣的�！庇终f：“它對學習一切其他功課還有一定的好處,學過幾何的人和沒有學過幾何的人在學習別的學科時是大不相同的�！彼谑钦f：“應該嚴格規(guī)定貴城邦的全體居民務必學習幾何�！苯又终f：“讓我們定下來吧：幾何學作為青年必學的第二門功課。”雖然畢達哥拉斯學派早就強調數(shù)學的重要性,但是只主張學派的高級成員精研數(shù)學
，并未要求普及數(shù)學。至于在希臘之外的其他地區(qū)，當時的數(shù)學水平尚處于萌芽狀態(tài)。因此,柏拉圖無疑是歷史上主張把數(shù)學定為必修課的第一人。
二、身體力行，把學園辦成以數(shù)學為主課的研究型大學
柏拉圖學園自公元前387年創(chuàng)辦后,就成為人才薈萃之地。它在好多方面有些像現(xiàn)代的私立大學，其辦學宗旨是培養(yǎng)具有哲學頭腦的優(yōu)秀政治人才，直至造就一位“哲學王”。由于柏拉圖認為研究哲學之前必須首先學好數(shù)學
，因此確立了以數(shù)學為主課的方針。在《理想國》第7卷中系統(tǒng)論述了他的教育方針。他主張對20歲到30歲的學生進行長達10年的、以數(shù)學為中心的數(shù)學教育。課程包括算術、平面幾何、立體幾何、天文學和諧音學。按照畢達哥拉斯的傳統(tǒng)說法
，天文學是研究運動的數(shù)，諧音學是研究數(shù)的協(xié)調,因此將這兩門課也歸入數(shù)學。待30歲后，挑選優(yōu)秀分子研習5年哲學，35歲后方可出任公職。由于《理想國》中的理想帶有烏托邦的色彩
，所以，學園中的實際運作究竟在多大程度上貫徹了上述方針，這也難說，但以數(shù)學為主課，這一點無疑得到堅持。據(jù)說在學園大門口刻寫著“不懂幾何者不得入內”的銘文
，這也從另一個側面說明學園對數(shù)學的重視程度。
柏拉圖熱心于教學方法的改進。他說,不應只向人們簡單地灌輸一堆知識，而應當讓他們學會透過表面現(xiàn)象看到事物的深處�？吹接篮愕膶嵲凇榱藛⒌纤季S,他善于通過問答式對話
，引導學生的思路向深處發(fā)展。他還鼓勵學生提出一些問題讓大家進行討論，倡導教師和學生開展創(chuàng)造性研究，把探索未知領域作為一項重要任務。
例如，他談到立體幾何“沒有得到發(fā)展的原因有二：第一，沒有一個城邦重視它，再加上它本身難度大，因此人們不愿意研究它；第二，研習者須有人指導
，否則不能成功”�？梢娏Ⅲw幾何這門課正是柏拉圖指導師生努力研究的一門學科。天文學和諧音學也是這樣。由此可以推知，學園的教學方式不同于現(xiàn)代一般大學的教學方式。特別是學生的學習
，它更注重學生在導師指導下的獨立研究。這種傳統(tǒng)得以延續(xù),以致在西方語言中，“學習”一詞（如拉丁語studeo,英語study）就兼有“研究”的涵義。
關于學園的工作方式，還有一種意見認為學園里面進行的主要是研究，所以學園其實是一所科學研究院。例如，H•尤斯納（Usener）曾于1884年斷言學園是已知的第一個科學研究機關。另外
，從名稱來看，學園的原名是阿卡德米亞（音譯），來源于學校所在地——一處紀念戰(zhàn)斗英雄阿卡德穆的花園。該詞的拉丁文Academia,英文Academy，其現(xiàn)代詞義均為“科學院”。這從一個側面表明
，柏拉圖學園究竟是學院（大學），還是科學院，歷來是有爭議的。中文的傳統(tǒng)譯名“學園”，雖未盡善，但是回避了上述爭議。
綜上所述，可以認定學園是一所非同尋常的大學，它是世界上第一所研究型大學。它存在了900多年，對西方文明作出了極大的貢獻。一些西方學者對柏拉圖學園贊頌有加
，認為它對世界學術發(fā)展的影響要比現(xiàn)今牛津大學、劍橋大學、哈佛大學和耶魯大學加在一起還大。
三、匠心獨運,提出公理演繹法的初始構想
我們在柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學哲學領域的最初的探索。他的數(shù)學哲學思想是和他的“理念論”分不開的。柏拉圖把一類事物的共性同可以感知的具體事物分離開來,使之成為獨立的存在
，稱之為理念。他認為理念高于相應的可感知的具體事物，而具體事物只是理念的不完善的摹本。因而只有理念才是認識的起點，才能成為數(shù)學研究的對象。
他曾以圓為例進行分析說：“有四種圓：
1．被世人稱為圓的某種東西；
2．圓的定義：在任何方向上的邊界點到中心的距離都是相等的；
3．畫出的一個圓，即旋轉圓規(guī)所得的圓；
4． 實質性的圓，即圓的理念。”
柏拉圖接著評論道：名稱是無關緊要的，只是由習慣形成的。我們甚至可稱圓為直線，并反過來稱直線為圓。定義其實也不具有真正的確定性，它是由名詞、動詞等詞語組成的。圓的圖形是畫出來或旋轉出來的具體的圓。這里難免摻雜著其他的東西
，它甚至充滿著和圓的本質相抵觸的成分。例如，數(shù)學圓和數(shù)學直線僅能相切于一個公共點,但這在畫圓時是無法做到的。因此，它們都不是完善的圓，即不是圓的理念，但和圓的理念密切相關。由此可見，柏拉圖所說圓的理念，其實就是圓的概念。他所說數(shù)學理念，其實就是數(shù)學概念。
盡管柏拉圖的“理念論”帶有唯心主義色彩，但他對數(shù)學概念的論述是深刻的，和我們今天所說的是大體一致的。數(shù)學名詞、定義和相應的圖形都是用以描摹數(shù)學概念的
，但都和數(shù)學概念本身有所區(qū)別。顯然,定義要比名詞和圖形更能刻畫數(shù)學概念的本質特征，因而柏拉圖注意對定義的推敲。由于柏拉圖強調概念的獨立性和抽象性
，并將概念和判斷明確地區(qū)別開來，從而為用概念和命題的系統(tǒng)表現(xiàn)數(shù)學理論奠定了基礎。
雖然我們無法肯定柏拉圖是否對數(shù)學的演繹結構提出過具體模式，但是把演繹法作為一種具體的推理方法，確是由他明確提出的。柏拉圖在《理想國》第6卷中說“想必你知道
，研究幾何、算術以及這一類學問的人，首先要假定奇數(shù)、偶數(shù)、三種類型的角以及各學科中諸如此類的東西是已知的，這就是他們的假設。他們設想這些東西是任何人都知道的
，因而認為無必要就此向他們自己或別人作任何說明。他們就從這些假設出發(fā)，并以前后一致的方式向下推，直至最后得出他們的結論�！边@段話說明，柏拉圖首先提出了要從一些自明的假設出發(fā)進行證明的觀點。而這個觀點正是公理演繹法的初始構想。說它是初始的
，那是因為它是不完善的。在上述引語里，公理（假設）究竟是概念還是命題并不清楚，“以前后一致的方式向下推”也不能確認為明確的推理要求。雖然它是不完善的
，但卻是一個偉大的開端。柏拉圖喚起了古希臘人尤其是數(shù)學家的一種強烈信念：一個完備的科學的理論結構，應該是一個演繹陳述系統(tǒng)。繼承并完成這項工作的是柏拉圖的學生亞里士多德。他創(chuàng)立了形式邏輯和完善的公理方法。后來數(shù)學家歐幾里得在其名作《幾何原本》里建立了第一個數(shù)學公理演繹體系。
在柏拉圖指導下，學園的數(shù)學教育取得了極大的成功。在公元前4世紀的希臘，絕大多數(shù)知名數(shù)學家都是柏拉圖的學生或朋友。他們之間經(jīng)常進行討論或交流
，而學園則成為開展數(shù)學交流活動的中心場所。他們以柏拉圖為核心形成一個學派，史稱柏拉圖學派。其中最杰出的數(shù)學家有歐多克索斯、泰特托斯和門奈赫莫斯等人。后來的歐幾里得（公元前300左右）早年也曾在學園攻讀數(shù)學。他的《幾何原本》中的大部分內容都是來源于柏拉圖學派數(shù)學家的研究成果。美國數(shù)學史家波耶（Boyer，1906--1976）評論說：“雖然柏拉圖本人在數(shù)學研究方面沒有特別杰出的學術成果,然而
，他卻是那個時代的數(shù)學活動的核心，……他對數(shù)學的滿腔熱忱沒有使他成為數(shù)學家，但卻贏得了‘數(shù)學家的造就者’（the
maker of mathematicians）的美譽�！�
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