布爾代數(shù)由于缺乏物理背景，所以研究緩慢，到了20世紀30～40年代才有了新的進展，大約在 1935年，M.H.斯通首先指出布爾代數(shù)與環(huán)之間有明確的聯(lián)系，他還得到了現(xiàn)在所謂的斯通表示定理：任意一個布爾代數(shù)一定同構于某個集上的一個集域；任意一個布爾代數(shù)也一定同構于某個拓撲空間的閉開代數(shù)等，這使布爾代數(shù)在理論上有了一定的發(fā)展。布爾代數(shù)在代數(shù)學（代數(shù)結構）、邏輯演算、集合論、拓撲空間理論、測度論、概率論、泛函分析等數(shù)學分支中均有應用；1967年后，在數(shù)理邏輯的分支之一的公理化集合論以及模型論的理論研究中，也起著一定的作用。近幾十年來，布爾代數(shù)在自動化技術、電子計算機的邏輯設計等工程技術領域中有重要的應用。

1835年，20歲的喬治·布爾開辦了一所私人授課學校。為了給學生們開設必要的數(shù)學課程，他興趣濃厚地讀起了當時一些介紹數(shù)學知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學嗎？實在令人難以置信。于是，這位只受過初步數(shù)學訓練的青年自學了艱深的《天體力學》和很抽象的《分析力學》。由于他對代數(shù)關系的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。這篇高質量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學教書,但是他開始和許多第一流的英國數(shù)學家交往或通信，其中有數(shù)學家、邏輯學家德·摩根。

摩根在19世紀前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護。這本書是他6年后更偉大的東西的預告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。

布爾此時已經在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當?shù)牟牧仙系摹巴评? ”，成了公式的初等運算的事情，這些公式比過去在中學代數(shù)第二年級課程中所運用的大多數(shù)公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長時間里，又付出了不同尋常的努力。

1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當時他已39歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學家蔑視地稱它為沒有數(shù)學意義的、哲學上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數(shù)學家能在數(shù)學上做出獨特貢獻。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。

20世紀初，羅素在《數(shù)學原理》中認為，“純數(shù)學是布爾在一部他稱之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現(xiàn)的�！贝苏f一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經發(fā)展成為純數(shù)學的一個主要分支。

　　在離散數(shù)學中，布爾代數(shù)(有時叫布爾格)是有補分配格（可參考格的定義)可以按各種方式去認為元素是什么；最常見的是把它們當作一般化的真值。作為一個簡單的例子，假設有三個條件是獨立的為真或為假。布爾代數(shù)的元素可以接著精確指定那些為真；那么布爾代數(shù)自身將是所有八種可能性的一個搜集，和與之在一起的組合它們的方式。

有時也被稱為布爾代數(shù)的一個相關主題是布爾邏輯，它可以被定義為是所有布爾代數(shù)所公有的東西。它由在布爾代數(shù)的元素間永遠成立的關系組成，而不管你具體的那個布爾代數(shù)。因為邏輯門和某些電子電路的代數(shù)在形式上也是這樣的，所以同在數(shù)理邏輯中一樣，布爾邏輯也在工程和計算機科學中研究。

在布爾代數(shù)上的運算被稱為AND(與)、OR(或)和NOT(非)。代數(shù)結構要是布爾代數(shù)，這些運算的行為就必須和兩元素的布爾代數(shù)一樣(這兩個元素是TRUE(真)和FALSE(假)。