通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。

幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。

歐拉與拓?fù)鋵W(xué)

第一個(gè)拓?fù)鋯?wèn)題是歐拉在1736 年解決的哥尼斯堡的七橋問(wèn)題。 哥尼斯堡是東普魯士的首府，這座歷史名城產(chǎn)生過(guò)大哲學(xué)家康德和大數(shù)學(xué)家希爾伯特。普雷格爾河橫貫哥尼斯堡城中，其中有七座橋。

尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單有很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。看來(lái)要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。

問(wèn)題是，我們能否散步經(jīng)過(guò)每一座橋，而且只經(jīng)過(guò)一次，歐拉證明這不可能。

1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。

在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。

歐拉的數(shù)學(xué)才能表現(xiàn)在他把這問(wèn)題化成圖的形式，然后證明不存在一筆畫(huà)法把這圖畫(huà)出。

如果經(jīng)過(guò)這七座橋所有可能路線都試一下的話共有5040 種路線，如果每一條路線都試一下證明行不通的話，顯然既費(fèi)時(shí)日，也太盲目了。歐拉作為一個(gè)數(shù)學(xué)家，在這里顯示出他的威力。歐拉沒(méi)有到過(guò)哥尼斯堡，更不去盲目地亂試，他只是把問(wèn)題簡(jiǎn)化，去掉不必要的因素，例如橋的長(zhǎng)度，然后把用河隔開(kāi)的四塊區(qū)域縮成四個(gè)點(diǎn)，這樣七橋就變成4 個(gè)點(diǎn)間、7 條連線組成的圖，而七橋問(wèn)題就變成這個(gè)圖能否一筆畫(huà)成。

那么一個(gè)圖能否一筆畫(huà)成，依賴于點(diǎn)和線的數(shù)目。連到一點(diǎn)的數(shù)目如是奇數(shù)條，就稱為奇點(diǎn)，如果是偶數(shù)條就稱為偶點(diǎn)，要想一筆畫(huà)成，必須中間點(diǎn)均是偶點(diǎn)，也就是有來(lái)路必有另一條去路，奇點(diǎn)只可能在兩端，因此任何圖一筆畫(huà)成，奇點(diǎn)的數(shù)目不是0 個(gè)就是2 個(gè)，否則不能一筆畫(huà)成�，F(xiàn)在看歐拉的七橋簡(jiǎn)圖，4 個(gè)點(diǎn)均為奇點(diǎn)，因此，七橋問(wèn)題找不到一個(gè)肯定的路線。

根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。四色問(wèn)題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色�！� 1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。