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1927年馮·諾依曼已經(jīng)在量子力學(xué)領(lǐng)域內(nèi)從事研究工作。他和希爾伯待以及諾戴姆聯(lián)名發(fā)表了論文《量子力學(xué)基礎(chǔ)》。該文的基礎(chǔ)是希爾伯特1926年冬所作的關(guān)于量子力學(xué)新發(fā)展的講演，諾戴姆幫助準(zhǔn)備了講演，馮·諾依曼則從事于該主題的數(shù)學(xué)形式化方面的工作。文章的目的是將經(jīng)典力學(xué)中的精確函數(shù)關(guān)系用概率關(guān)系代替之。希爾伯特的元數(shù)學(xué)、公理化的方案在這個生氣勃勃的領(lǐng)域里獲得了施展
，并且獲得了理論物理和對應(yīng)的數(shù)學(xué)體系間的同構(gòu)關(guān)系。對這篇文章的歷史重要性和影響無論如何評價都不會過高。馮·諾依曼在文章中還討論了物理學(xué)中可觀察算符的運算的輪廓和埃爾米特算子的性質(zhì)，無疑，這些內(nèi)容構(gòu)成了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書的序曲。
l932世界聞名的斯普林格出版社出版了他的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，它是馮·諾依曼主要著作之一，初版為德文，1943年出了法文版，l949年為西班牙文版，l955年被譯成英文出版，至今仍不失為這方面的經(jīng)典著作。當(dāng)然他還在量子統(tǒng)計學(xué)、量子熱力學(xué)、引力場等方面做了不少重要工作。
客觀地說，在量子力學(xué)發(fā)展史上，馮·諾依曼至少作出過兩個重要貢獻：狄拉克對量子理論的數(shù)學(xué)處理在某種意義下是不夠嚴(yán)格的，馮·諾依曼通過對無界算子的研究，發(fā)展了希爾伯特算子理論，彌補了這個不足；此外，馮·諾依曼明確指出，量子理論的統(tǒng)計特征并非由于從事測量的觀察者之狀態(tài)未知所致。借助于希爾伯待空間算子理論，他證明凡包括一般物理量締合性的量子理論之假設(shè)，都必然引起這種結(jié)果。
對于馮·諾依曼的貢獻，諾貝爾物理學(xué)獎獲得者威格納曾作過如下評價：“在量子力學(xué)方面的貢獻，就是以確保他在當(dāng)代物理學(xué)領(lǐng)域中的特殊地位�！�
在馮·諾依曼的工作中，希爾伯特空間上的算子譜論和算子環(huán)論占有重要的支配地位，這方面的文章大約占了他發(fā)表的論文的三分之一。它們包括對線性算子性質(zhì)的極為詳細的分析，和對無限維空間中
算子環(huán)進行代數(shù)方面的研究。
算子環(huán)理論始于1930年下半年，馮·諾依曼十分熟悉諾特和阿丁的非交換代數(shù)，很快就把它用于希爾伯特空間上有界線性算子組成的代數(shù)上去，后人把它稱之為馮·諾依曼算子代數(shù)。
1936～l940年間，馮·諾依曼發(fā)表了六篇關(guān)于非交換算子環(huán)論文，可謂20世紀(jì)分析學(xué)方面的杰作，其影響一直延伸至今。馮·諾依曼曾在《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中說過：由希爾伯特最早提出的思想就能夠為物理學(xué)的量子論提供一個適當(dāng)?shù)幕A(chǔ)，而不需再為這些物理理論引進新的數(shù)學(xué)構(gòu)思。他在算子環(huán)方面的研究成果應(yīng)驗了這個目標(biāo)。馮·諾依曼對這個課題的興趣貫穿了他的整個生涯。
算子環(huán)理論的一個驚人的生長點是由馮·諾依曼命名的連續(xù)幾何。普通幾何學(xué)的維數(shù)為整數(shù)1、2、3等，馮·諾依曼在著作中已看到，決定一個空間的維數(shù)結(jié)構(gòu)的，實際上是它所容許的旋轉(zhuǎn)群。因而維數(shù)可以不再是整數(shù)，連續(xù)級數(shù)空間的幾何學(xué)終于提出來了。
1932年，馮·諾依曼發(fā)表了關(guān)于遍歷理論的論文，解決了遍歷定理的證明，并用算子理論加以表述，它是在統(tǒng)計力學(xué)中遍歷假設(shè)的嚴(yán)格處理的整個研究領(lǐng)域中，獲得的第一項精確的數(shù)學(xué)結(jié)果。馮·諾依曼的這一成就，可能得再次歸功于他所嫻熟掌握的受到集合論影響的數(shù)學(xué)分析方法，和他自己在希爾伯特算子研究中創(chuàng)造的那些方法。它是20世紀(jì)數(shù)學(xué)分析研究領(lǐng)域中取得的最有影響成就之一，也標(biāo)志著一個數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域開始接近精確的現(xiàn)代分析的一般研究。
此外馮·諾依曼在實變函數(shù)論、測度論、拓撲、連續(xù)群、格論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域也取得不少成果。1900年希爾伯特在那次著名的演說中，為20世紀(jì)數(shù)學(xué)研究提出了23個問題，馮·諾依曼也曾為解決希爾伯特第五問題作了貢獻。 |
