書中出現(xiàn)了有關正多邊形的作圖,方便的同余記號以及優(yōu)美的二次互反律的首次證明等。實際上,在高斯之前有許多數(shù)學家認為已給出了這個結(jié)果的證明,可是沒有一個證明是嚴密的。高斯把前人證明的缺失一一指出來,然後提出自己的見解,他一生中一共給出了四個不同的證明。
我們這里談到的也只是高斯年輕時候在數(shù)論領域里所做的一小部分工作,在他漫長的一生中,他幾乎在數(shù)學的每個領域都有開創(chuàng)性的工作。在慕尼黑博物館的高斯畫像上有這樣一首題詩: “他的思想深入數(shù)學、空間、大自然的奧秘,他測量了星星的路徑、地球的形狀和自然力。他推動了數(shù)學的進展直到下個世紀。 ”
在19世紀末,集合論的創(chuàng)始人康托這樣評價:《算術研究》是數(shù)論的憲章。高斯總是遲遲不肯發(fā)表他的著作,這給科學帶來的好處是,他付印的著作在今天仍然像第一次出版時一樣正確和重要,他的出版物就是法典。比人類其它法典更高明,因為不論何時何地從未發(fā)覺出其中有任何一處毛病,這就可以理解高斯暮年談到他青年時代第一部巨著時說的話:“《算術研究》是歷史的財富。”他當時的得意心情是頗有道理的。
關于《算術研究》,還流傳著這樣一個故事,1849年7月16日,哥廷根大學為高斯獲得博士學位五十周年舉行慶祝會。當進行到某一程序時,高斯準備用《算術研究》的一張原稿點煙,當時在場的數(shù)學家狄里克雷(后來繼承了高斯的職位),像見到瀆圣行為一樣吃了一驚,他立刻冒失地從高斯手中搶下這一頁紙,并一生珍藏它;他的編輯者在他死后從他的論文中間找到了這張原稿。
“寧肯少些,但要成熟!
和藝術家一樣,高斯希望他留下的都是十全十美的藝術珍品,任何絲毫的改變都將破壞其內(nèi)部的均衡。他常說:“當一幢建筑物完成時,應該把腳手架拆除干凈!
高斯對于嚴密性的要求也非?量,使得一個定理從直覺的形式到完整的數(shù)學證明,中間有一段很長的過程。此外,高斯十分講究組織結(jié)構(gòu),他希望在每一個領域中,都能樹立起一致而普遍的理論,從而將不同的定理聯(lián)系起來。鑒于上述原因,高斯很不樂意公開發(fā)表他的東西。他的著名的警句是:寧肯少些,但要成熟。為此,高斯付出了高昂的代價,包括把非歐幾何學和最小二乘法的發(fā)明權(quán)讓給了羅巴切夫斯基、鮑耶和勒讓德,就如同費馬把解析幾何和微積分的發(fā)明權(quán)讓給了笛卡爾和牛頓、萊布尼茲。
從做出有關正多邊形發(fā)現(xiàn)的那天起,高斯開始了著名的數(shù)學日記,他以密碼式的文字記載下許多偉大的數(shù)學發(fā)現(xiàn)。高斯的這本日記直到1898年才被找到,它包括146條很短的注記,其中有數(shù)值計算結(jié)果,也有簡單的數(shù)學定理。例如,關于正多邊形作圖問題,高斯在日記中寫到:圓的分割定律,如何以幾何方法將圓十七等分。
又如1796年7月10日的記載, num=△+△+△ 意指“每個自然數(shù)都是三個三角形數(shù)之和”。就像莫扎特一樣,高斯年輕時候風起云涌的奇思妙想使他來不及做完一件事,另一件又出現(xiàn)了。
在高斯的時代,幾乎找不到什么人能夠分享他的想法或向他提供新的觀念。每當他發(fā)現(xiàn)新的理論時,他沒有人可以討論。這種孤獨的感覺,經(jīng)年累月積存下來,就造成他高高在上、冷若冰霜的心境了。這種智慧上的孤獨,在歷史上只有很少幾個偉人感受過。高斯從不參加公開爭論,他對辯論一向深惡痛絕,他認為那很容易演變成愚蠢的喊叫,這或許是他從小對粗暴專制的父親一種心理上的反抗。高斯成名后很少離開過哥廷根,他曾多次拒絕柏林、圣彼德堡等地科學院的邀請。
高斯甚至厭惡教學,也不熱衷于培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)年輕人,自然就談不上創(chuàng)立什么學派,這主要是由于高斯天賦之優(yōu)異,因而心靈上離群索居?蛇@不等于說高斯沒有出類拔萃的學生,黎曼、狄里克雷都堪稱偉大的數(shù)學家,戴特金和艾森斯坦也對數(shù)學作出了杰出貢獻。但是由于高斯的登峰造極,在這幾個人中,也只有黎曼(在狄里克雷死后繼承了高斯的職位)被認為和高斯比較親近。
后人對高斯的批評: 美國的著名數(shù)學家E.T.貝爾在他的《數(shù)學精英》一書里曾經(jīng)這樣批評高斯:在高斯死后,人們才知道他早就預見一些十九世的數(shù)學,而且在1800年之前他已經(jīng)在期待它們的出現(xiàn)。如果他能把他所知道的一些東西泄漏,很可能現(xiàn)在數(shù)學早比目前還要先進半個世紀或更多的時間。阿貝爾和雅可比就可以從高斯所停留的地方開始工作,而不是把他們最好的努力花在發(fā)現(xiàn)高斯早在他們出生時就知道的東西。而那些非歐幾何學的創(chuàng)造者,可以把他們的天才用到其他方面去。 阿貝爾20歲時,解決了數(shù)學史上的一個大問題,即證明了用根式解一般五次方程的不可能性,他將短短六頁“不可解”的證明寄給歐洲一些著名的數(shù)學家,高斯自然也收到了一份。阿貝爾在引言中滿懷信心,以為數(shù)學家們會親切地接受這篇論文。不久阿貝爾開始了他一生唯一的一次遠足,當時他想以這篇文章作敲門磚。
阿貝爾此行最大的愿望就是拜訪高斯,
但高斯高不可攀,只是將論文瞄了幾行,便把它丟在一旁,仍然專心于自己的研究工作。阿貝爾只得痛苦離開哥廷根。 和高斯同時代的偉大數(shù)學家雅可比和阿貝爾都抱怨高斯漠視了他們的成就!
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