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從科學(xué)發(fā)展來(lái)看，數(shù)學(xué)和許多學(xué)科都發(fā)生過(guò)密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)的發(fā)展和許多學(xué)科的發(fā)展都起著很相輔相成的作用——就是或者說(shuō)數(shù)學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了其他學(xué)科的發(fā)展，或者其他學(xué)科向數(shù)學(xué)提出了許多具體的問題，結(jié)果也推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。比如，最早提出博弈論的是馮·諾依曼。二次世界大戰(zhàn)時(shí)，德國(guó)的空軍很強(qiáng)，飛機(jī)數(shù)量多，質(zhì)量也好。為了解決如何以處于劣勢(shì)的美國(guó)空軍打敗德國(guó)空軍的問題，美國(guó)就找了一批數(shù)學(xué)家，馮·諾依曼就在其中。他是個(gè)大數(shù)學(xué)家，結(jié)果就是他從這個(gè)問題里發(fā)展出了博弈論。
關(guān)于數(shù)學(xué)的地位，有的人提出這樣一種說(shuō)法，認(rèn)為數(shù)學(xué)是科學(xué)的王后。這個(gè)說(shuō)法很多數(shù)學(xué)家不贊成。數(shù)學(xué)并不是孤立于其他學(xué)科而高高在上的，而是和其他學(xué)科相輔相成，共同促進(jìn)，共同發(fā)展。把數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系說(shuō)成是伙伴關(guān)系，也許更恰當(dāng)一些。
我們現(xiàn)在說(shuō)的數(shù)學(xué)的定義是恩格斯在《自然辯證法》中提出來(lái)的。他說(shuō)，數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的。恩格斯這個(gè)定義是19世紀(jì)提的，隨著20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展，很多東西這個(gè)定義解決不了。說(shuō)到數(shù)量關(guān)系，就是指數(shù)學(xué)研究數(shù)的運(yùn)算。但隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)運(yùn)算的對(duì)象遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了數(shù)�？臻g形式是指當(dāng)時(shí)被理解為客觀世界的空間形式，也就是我們所說(shuō)的三維空間。但是，幾何學(xué)里的研究已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了三維，涉及到四維、五維、多維甚至無(wú)數(shù)維。所以拿19世紀(jì)的定義來(lái)概括數(shù)學(xué)就顯得很不夠。
解放后，我參加了很多次討論，就是如何給數(shù)學(xué)下定義。到現(xiàn)在為止，我覺得沒有一個(gè)定義是讓人滿意的。這也說(shuō)明數(shù)學(xué)的定義很難下。比如有人提出來(lái)，數(shù)學(xué)是研究“量”的，把“數(shù)”字去掉。他說(shuō)，有“數(shù)”呢，就顯得太死了。那什么叫“量”呢？我給提出這個(gè)概念的人說(shuō)過(guò)，你說(shuō)的“量”是一個(gè)哲學(xué)概念�，F(xiàn)在又有人說(shuō)數(shù)學(xué)研究的是秩序，也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)的研究就是給這個(gè)世界以秩序。想想這種說(shuō)法也有點(diǎn)道理，但說(shuō)的還是不大清楚。從這里可以看出一條，數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)不一樣，因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對(duì)象是抽象的。而那些學(xué)科都有非常具體的對(duì)象，但數(shù)學(xué)沒有。數(shù)學(xué)所以能用到自然科學(xué)，又能用到社會(huì)科學(xué)，甚至人文學(xué)科，就是因?yàn)樗浅橄蟮�。�?shù)學(xué)研究對(duì)象的抽象性首先有一條，就是能夠訓(xùn)練我們一種思維方法——抽象思維方法。數(shù)學(xué)里即使是從自然數(shù)開始，也已經(jīng)是非常抽象的概念了，要經(jīng)過(guò)很多層抽象才能夠得出來(lái)。你要研究數(shù)學(xué)發(fā)展史，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)的概念的形成其實(shí)是很不容易的。所以，學(xué)數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練人的抽象思維能力。
抽象這種思想方法為什么這么重要呢？因?yàn)槲覀円盐兆∫粋�(gè)東西，就必須去掉很多你認(rèn)為不重要的東西，要舍棄很多非本質(zhì)的東西，就是必須通過(guò)抽象。抽象的思想方法對(duì)于研究科學(xué)，甚至處理日常生活里出現(xiàn)的問題都是重要的。如果你沒有抽象的能力，你就不容易分清你現(xiàn)在究竟要解決的是什么問題。這是數(shù)學(xué)突出的特點(diǎn)，即它的抽象性。數(shù)學(xué)的抽象性使得數(shù)學(xué)廣泛地應(yīng)用于很多方面，應(yīng)用到很多完全不同的方面。
第二個(gè)特點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象性，所以對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象必須要講得非常清楚，也就是要下定義。其他學(xué)科對(duì)定義的要求不太一樣，我們可以大致描述一下那是個(gè)什么東西，聽的人就能夠明白�？墒菙�(shù)學(xué)因?yàn)樗膶?duì)象抽象，簡(jiǎn)單地描述是不行的，必須要有嚴(yán)格的定義。數(shù)學(xué)里的定義非常重要，這一點(diǎn)大家都能體會(huì)到。我在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，其他系的老師到數(shù)學(xué)系講課，往往遇到一個(gè)很大的困難。因?yàn)閷W(xué)生什么都問定義，比如物理系的老師來(lái)講課，他講到“力”，學(xué)生就要求給“力”下定義。這非常困難，因?yàn)槔蠋熀茈y用幾句話把“力”刻畫清楚，不像數(shù)學(xué)里講“圓”，就是從一點(diǎn)出發(fā)畫出的等距離的軌跡，說(shuō)得多清楚。
數(shù)學(xué)為什么對(duì)定義有這么嚴(yán)格的要求呢？就以為它的對(duì)象抽象，你不通過(guò)定義把它界定清楚，就沒法討論。我經(jīng)常開玩笑地說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)的人是非常笨的，他聽的東西，只要那個(gè)定義沒說(shuō)清楚，他就聽不懂。在這個(gè)意義上，有它的好處，也有它的壞處。你什么都要定義，其實(shí)并不是所有的東西都可以下定義的。
數(shù)學(xué)的第三個(gè)特點(diǎn)是它的邏輯的嚴(yán)格性。因?yàn)樗浅橄蟮�，所以它的展開只能靠邏輯，這一點(diǎn)對(duì)我們來(lái)說(shuō)也是非常重要的訓(xùn)練。這我們可以從平面幾何來(lái)理解。學(xué)了平面幾何究竟起什么作用呢？年輕的時(shí)候，也就是念了大學(xué)的數(shù)學(xué)以后，我就宣稱平面幾何沒有用，一些難題現(xiàn)實(shí)中到哪里去找��？20世紀(jì)50年代，我參加過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)改革，就經(jīng)常說(shuō)平面幾何應(yīng)該取消。但后來(lái)當(dāng)了幾年教員后，我就發(fā)現(xiàn)，學(xué)過(guò)平面幾何和沒學(xué)過(guò)的學(xué)生有一點(diǎn)不一樣，就是你說(shuō)要證明一個(gè)問題，學(xué)過(guò)平面幾何的學(xué)生很容易接受，但沒有學(xué)過(guò)的接受起來(lái)就比較困難。“文革”期間的學(xué)生，你讓他證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和是180º，他們很多人就會(huì)說(shuō)，這么簡(jiǎn)單的問題還要你證�。磕昧拷瞧髁恳幌虏痪偷昧�，搞得我們啼笑皆非。這就說(shuō)明，邏輯思維能力是需要通過(guò)一些具體的東西來(lái)培養(yǎng)的，平面幾何就是培養(yǎng)人們邏輯思維能力的很好的媒介。過(guò)去我們?cè)?jīng)認(rèn)為，通過(guò)上邏輯課可以直接獲得邏輯思維能力，為此，在中學(xué)還專門開過(guò)形式邏輯課，但最后證明效果很差，后來(lái)才知道人的邏輯思維能力是不能單單通過(guò)上邏輯課來(lái)培養(yǎng)的。
通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能夠獲得很好的思維習(xí)慣、思想方法，在無(wú)形中會(huì)對(duì)我們起作用，舉個(gè)例子，“文革”中，經(jīng)常下工廠聯(lián)系實(shí)際。我們中的很多人可能對(duì)工廠里的實(shí)際問題不清楚，但是只要你能把邏輯關(guān)系理清楚，就能知道它是個(gè)什么問題，已知的條件是什么，要解決的問題是什么。這就是我從學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中逐漸學(xué)到的。
不同專業(yè)的數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃，都涉及數(shù)學(xué)課安排多少的問題。我的看法，不是數(shù)學(xué)課越多越好，因?yàn)榭偟慕虒W(xué)時(shí)間是有限的。考慮數(shù)學(xué)課的時(shí)候，應(yīng)該從兩方面來(lái)考慮，一是數(shù)學(xué)對(duì)你未來(lái)可能從事的專業(yè)有沒有用，有多少用。用得多的，就要多下一些功夫。另一方面，還要顧及到數(shù)學(xué)是一個(gè)整體，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)一個(gè)人的的思想方法。為了培養(yǎng)思想方法，你就不能用多少學(xué)多少。這種情況是有的，在“文革”中，就曾經(jīng)搞過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合專業(yè)講。專業(yè)里用到什么就講什么，完全把數(shù)學(xué)變成工具，這樣其實(shí)是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。所以，數(shù)學(xué)課程的設(shè)置，既要考慮到用，又要考慮到數(shù)學(xué)是一個(gè)完整的體系，要使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整個(gè)結(jié)構(gòu)有比較清楚的了解。
用得著的東西要講，也不是所有用得著的東西都要講。數(shù)學(xué)知識(shí)可以分兩種，一種是比較基礎(chǔ)的，一定要學(xué)通；還有一種是屬于提高的，這些等到你用的時(shí)候再學(xué)還來(lái)得及。比如十幾年前，大家都感到計(jì)算機(jī)的用途越來(lái)越廣，于是就學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)語(yǔ)言。但后來(lái)的經(jīng)驗(yàn)是，語(yǔ)言學(xué)多了也沒有用。
有的同志經(jīng)常說(shuō)，數(shù)學(xué)是美的享受，這話我就不大懂。有些時(shí)候你可以說(shuō)數(shù)學(xué)很美，但也就是說(shuō)說(shuō)，不能過(guò)分夸大。因?yàn)檫@不是數(shù)學(xué)的本質(zhì)的規(guī)定性。
數(shù)學(xué)不只是知識(shí)，它同時(shí)培養(yǎng)人的能力，提高人的素質(zhì)，能給人一無(wú)形中的影響。我經(jīng)常碰到這樣一些學(xué)生，他們畢業(yè)已經(jīng)很多年了，并且完全改了行。他們告訴我，在大學(xué)一年紀(jì)時(shí)聽過(guò)我的課，這些課對(duì)他們還是有影響的。聽了這些話我當(dāng)然很高興。我覺得，他們講的不完全是恭維我的話，我講的那些內(nèi)容可能他們?cè)缇屯耍切┕�、定理他們�(cè)缇筒挥浀昧耍撬麄円苍S在我的課上學(xué)會(huì)了一些思考問題的方法，這些方法能夠使他們終身受益。記得有位數(shù)學(xué)家講過(guò)這樣一句話，今天數(shù)學(xué)教育的質(zhì)量，決定著明天科學(xué)人才的水平。我把這句話提供給大家，供大家參考。
（本文是丁石孫先生做的學(xué)術(shù)報(bào)告，有刪節(jié)）
丁石孫 1927年生。著名數(shù)學(xué)家，專于代數(shù)、數(shù)論。在代數(shù)、數(shù)論、應(yīng)用代數(shù)、李代數(shù)理論的研究方面取得多項(xiàng)成果。 | 
