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中科院力學所
中國古代的算籌和籌算
力學園地
2014年04月29日
編者按：本刊收到網友來信，提到他近期參觀孔廟時得知孔子時代的運算工具之一是算籌。但他對這種工具知之甚少，很是困惑。本刊發(fā)表此文，對算籌和籌算進行介紹，以饗讀者。
何謂算籌？
所謂算籌，其實就是一把刻得很整齊的竹棍，直徑約兩到三毫米，長度十厘米左右。除竹制的以外，還有木、鐵、玉石、骨、象牙制的算籌。把算籌裝在袋子里或筆筒中隨身攜帶，這就是古人說的“算袋”或“算子筒”。唐代曾經規(guī)定，文武官員都必須備有算袋，以提高決策的科學性。
用算籌表示數，有縱式和橫式兩種方式。在縱式中，縱擺的每根算籌都代表1，表示6~9時，則上面擺一根橫的代表5。橫式中則是橫擺的每一根都代表1，其上面縱擺的一根代表5。而且規(guī)定個位和百位必須用縱式，十位和千位必須用橫式，縱橫相間，使各位界限分明，以免發(fā)生混亂。算盤中上面的一個子代表5，下面的一個子代表1，是從算籌延續(xù)下來的。計數的十進位制是我國古代文明最重要的發(fā)明之一。圖3表示我國古代用算籌記數的縱、橫兩種方式：
用算籌運算，有一套規(guī)則和口訣。中國古人不但可以用它做加減乘除四則運算，還可以乘方開方，連多元高次方程這樣高深的數學難題都可以解出來，不可不謂之奇跡。
中國的算籌和籌算制度，在春秋戰(zhàn)國時期已經比較成熟了?！独献印芬粫兄v到：“善計者不用籌策”，表明那時算籌已經很普遍了?！兑捉洝分邪素缘膱D標由橫豎長短不同的橫線組成，可能與當時算籌的使用有關。
1954年在湖南長沙左家公山出土的戰(zhàn)國時代古墓，內藏竹算籌40根，每根長12厘米。
1975年在湖北江陵鳳凰山漢墓中發(fā)現竹制算籌。
1971年考古學家從陜西千陽縣一座出土的西漢古墓中發(fā)現一束在一個絲袋內（算籌袋）保存完好的獸骨算籌，長短不一，最長的13.8厘米，最短的12.6厘米，截面呈圓形，直徑在2-4毫米間。
1980年從河北石家莊出土的30根東漢骨算籌，長7.8-8.9厘米，截面方形，邊長約0.4厘米。此外在陜西旬陽漢墓中出土象牙籌27根。
1983-1984，湖北江陵張家山西漢古墓中出土竹算籌。
1973年9月，湖北省江陵縣鳳凰山出土的十號漢代古木木牘，其中有一片記有“當利二月定算”的字樣，這是文獻中最早出現的以籌碼代替文字記數的例子之一。
運籌學名稱來源
出謀劃策時，對有關問題必須經過數學計算，計算就要用算籌，所以，“運籌”成為“出謀劃策”的代名詞。漢高祖劉邦在總結打敗項羽原因時，說張良是“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，后來“運籌帷幄”成為一個成語?，F代數學中，有一個分科叫“運籌學”，其名稱也來源于古代籌算。
算籌發(fā)展為算盤
從周代到元代，籌算在我國應用了約二千年，對中國古代數學的發(fā)展功不可沒，南北朝數學家祖沖之計算圓周率應該就是用算籌完成的。但算籌也有嚴重的缺點：運算時需要較大的地方擺算籌，位數越多，問題越難，需要擺的面積越大，用起來不大方便。另一個重要問題是運算過程不保留。它的運算過程實際上就是挪動算籌，運算了下一步，上一步就看不到了。雖然這有節(jié)約紙的好處，但如果有了錯誤就不好檢查，學習者學習起來也很困難。元朝數學家朱世杰，能用籌算解四元高次方程，其數學水平居世界領先地位，但是他的方法太難懂了，因而后繼無人。中國古代數學不能發(fā)展為現代數學，籌算方法的限制是一個重要原因。元末明初之后，珠算逐漸代替了籌算。籌算的重要缺點是運算過程不保留，出了錯誤不便檢查，只好重算一遍。這個缺點，珠算仍然有。
何謂算籌？
所謂算籌，其實就是一把刻得很整齊的竹棍，直徑約兩到三毫米，長度十厘米左右。除竹制的以外，還有木、鐵、玉石、骨、象牙制的算籌。把算籌裝在袋子里或筆筒中隨身攜帶，這就是古人說的“算袋”或“算子筒”。唐代曾經規(guī)定，文武官員都必須備有算袋，以提高決策的科學性。
圖1 算籌
圖2 籌算
算籌如何計數
用算籌表示數，有縱式和橫式兩種方式。在縱式中，縱擺的每根算籌都代表1，表示6~9時，則上面擺一根橫的代表5。橫式中則是橫擺的每一根都代表1，其上面縱擺的一根代表5。而且規(guī)定個位和百位必須用縱式，十位和千位必須用橫式，縱橫相間，使各位界限分明，以免發(fā)生混亂。算盤中上面的一個子代表5，下面的一個子代表1，是從算籌延續(xù)下來的。計數的十進位制是我國古代文明最重要的發(fā)明之一。圖3表示我國古代用算籌記數的縱、橫兩種方式：
圖3 算籌計數
如要表示一個多位數字，即把各位的數字從左到右橫列，各位數的籌式需要縱橫相間，個位數用縱式表示，十位數用橫式表示，百位、萬位用縱式，千位、十萬位用橫式。
圖4
算籌運算
用算籌運算，有一套規(guī)則和口訣。中國古人不但可以用它做加減乘除四則運算，還可以乘方開方，連多元高次方程這樣高深的數學難題都可以解出來，不可不謂之奇跡。
圖5 算籌加法運算
圖6 算籌減法運算(自上而下減，答數在左方)
古人乘法/除法皆為從左至右算，乘數在上，被乘數在下，積放在中間。古人計算用"籌"不用筆，籌算可以任意改變形態(tài)，所以左至右算根本不麻煩。如算49乘36的步驟，結果是1764。
圖7 算籌乘法
算籌還可以解聯立方程組。“九章算術”是東漢編訂的數學經典著作。方程中一次方程組可由算籌布置。如下圖1，圖2中各行從左到右列出算籌數分別表示未知數X,Y的系數與對應的常數項。算籌圖可表達為：
圖8 算籌解代數聯立方程
算籌考古
中國的算籌和籌算制度，在春秋戰(zhàn)國時期已經比較成熟了?！独献印芬粫兄v到：“善計者不用籌策”，表明那時算籌已經很普遍了?！兑捉洝分邪素缘膱D標由橫豎長短不同的橫線組成，可能與當時算籌的使用有關。
圖9 周易八卦圖
現在考古發(fā)掘出的算籌實物，最早是漢代的。
1954年在湖南長沙左家公山出土的戰(zhàn)國時代古墓，內藏竹算籌40根，每根長12厘米。
1975年在湖北江陵鳳凰山漢墓中發(fā)現竹制算籌。
1971年考古學家從陜西千陽縣一座出土的西漢古墓中發(fā)現一束在一個絲袋內（算籌袋）保存完好的獸骨算籌，長短不一，最長的13.8厘米，最短的12.6厘米，截面呈圓形，直徑在2-4毫米間。
1980年從河北石家莊出土的30根東漢骨算籌，長7.8-8.9厘米，截面方形，邊長約0.4厘米。此外在陜西旬陽漢墓中出土象牙籌27根。
1983-1984，湖北江陵張家山西漢古墓中出土竹算籌。
1973年9月，湖北省江陵縣鳳凰山出土的十號漢代古木木牘，其中有一片記有“當利二月定算”的字樣，這是文獻中最早出現的以籌碼代替文字記數的例子之一。
運籌學名稱來源
出謀劃策時，對有關問題必須經過數學計算，計算就要用算籌，所以，“運籌”成為“出謀劃策”的代名詞。漢高祖劉邦在總結打敗項羽原因時，說張良是“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，后來“運籌帷幄”成為一個成語?，F代數學中，有一個分科叫“運籌學”，其名稱也來源于古代籌算。
算籌發(fā)展為算盤
從周代到元代，籌算在我國應用了約二千年，對中國古代數學的發(fā)展功不可沒，南北朝數學家祖沖之計算圓周率應該就是用算籌完成的。但算籌也有嚴重的缺點：運算時需要較大的地方擺算籌，位數越多，問題越難，需要擺的面積越大，用起來不大方便。另一個重要問題是運算過程不保留。它的運算過程實際上就是挪動算籌，運算了下一步，上一步就看不到了。雖然這有節(jié)約紙的好處，但如果有了錯誤就不好檢查，學習者學習起來也很困難。元朝數學家朱世杰，能用籌算解四元高次方程，其數學水平居世界領先地位，但是他的方法太難懂了，因而后繼無人。中國古代數學不能發(fā)展為現代數學，籌算方法的限制是一個重要原因。元末明初之后，珠算逐漸代替了籌算。籌算的重要缺點是運算過程不保留，出了錯誤不便檢查，只好重算一遍。這個缺點，珠算仍然有。
（白迺彬撰文）