穩(wěn)定性漫談

陳立群

上海大學力學系，上海 200444

摘要：本文通俗地介紹穩(wěn)定性。首先引入平衡穩(wěn)定性的概念。隨后簡介了平衡穩(wěn)定性的判斷方法。接著引入了運動穩(wěn)定性概念，并說明李雅普諾夫穩(wěn)定性與龐卡萊軌道穩(wěn)定性的區(qū)別。最后簡要提交與穩(wěn)定性相關的一些學科方向。
關鍵詞： 穩(wěn)定性，平衡穩(wěn)定性，運動穩(wěn)定性，軌道穩(wěn)定性

1 引言
穩(wěn)定一詞的字面意思為堅持或保持。形容詞“穩(wěn)定的”的英文和法語stable、德文stabil均來源于拉丁文stbilis。最早見于羅馬共和國末期的詩人和哲學家盧克萊修(Titus Lucretius Carus，約前99年-約前55年)所寫的哲理長詩《物性論》([1] 140頁)：
因為水就是這樣動的，
一受到最微小的影響就波動，
由于它是由會滾動的小形粒子所構成；
但是相反地密的本性則是更穩(wěn)定，
它的液汁更富于懶性，它流動更遲緩；
因為它的物質更牢結在一起，
因為，實在說，構成它的粒子，
不是這樣地光滑，不是這樣地小而圓。
在漢語中，“穩(wěn)定”是舶來品，本土原先很少用，因此始編于1908年主要收錄1840 年以前的漢語詞匯的《辭源》都沒有收入“穩(wěn)定”。罕見的一個古代使用例子見于《清史稿 列傳一百七》，其中收有1814年河東河道總督栗毓美(1778-1840)上疏，論證用燒磚筑堤的必要性----能在水流沖擊下不動，“上年盛漲，較二年及十二年尤猛迅，磚壩均屹立不移。儀睢、中河兩廳，河水下卸，塌灘匯壩，搶鑲埽段，旋即走失，用磚拋護，均能穩(wěn)定。([2]11656頁)”
傳統漢語中，與穩(wěn)定意思接近的詞是“安穩(wěn)”，意思是平安穩(wěn)妥。除去天下局勢太平、人心所向的引申含義外，主要用于說明行舟的平穩(wěn)無驚。南朝宋臨川王劉義慶(403-444)所撰《世說新語 排調》記載，東晉書法家、畫家顧愷之(348-409)遇風浪后寫信報平安，“行人安穩(wěn)，布帆無恙。([3]438頁)”這一故事也收入《晉書 列傳第六十二》([4]2404頁)。《宋史 志第一百四十八兵九》記載北宋抗金名臣李綱(1083-1140)的主張，“水戰(zhàn)之利，南方所宜。沿河、淮、海、江帥府、要郡，宜效古制造戰(zhàn)船，以運轉輕捷安穩(wěn)為良。又習火攻，以焚敵舟。([5]4869頁)”。《清史稿 列傳七十九》記載1723年江西巡撫裴幰度(?-1740)上疏設關榷稅事宜“九江舊關，上有龍開河、官牌夾，下有老鶴塘、白水港，地勢寬平，泊舟安穩(wěn)。([6]10311頁)”
除行舟外，安穩(wěn)還用于說明人的體態(tài)步態(tài)?！肚f子 應帝王》中說“泰氏其臥徐徐，其覺于于”，司馬彪(?-306)注：“徐徐，安穩(wěn)貌。([7]289頁)”《潛夫論 相列》說人的相法，“手足欲深細明直，行步欲安穩(wěn)覆載。([8]310頁)”也用于說明車輛行走安定平穩(wěn)?！稌x書 志第十五》解釋天子車的五牛旗的含義，“牛之為義，蓋取其負重致遠而安穩(wěn)也。([9]754頁)”
穩(wěn)定性是個重要而基本的科學概念，在其發(fā)展過程中已經有含義豐富。我們先從最基本的平衡的穩(wěn)定性談起，隨后說明運動穩(wěn)定性。

2 穩(wěn)定性的概念
物理學中有平衡的概念，物體受合力為零，就處于平衡狀態(tài)。在慣性系(滿足牛頓第一運動定律的參考系)中，若物體原先沒有運動，平衡就意味著靜止。一支鉛筆，末端用一根細線吊起來，就處于平衡狀態(tài)，因為細線對鉛筆的拉力與鉛筆自身的重力大小相等、方向相反、作用在同一條直線上，因此合力為零。如果把鉛筆筆尖朝下立在水平桌面上，理論上如果鉛筆立的足夠直，仍然有桌面對鉛筆的支撐力與鉛筆的重力大小相等、方向相反、作用在同一條直線上，合力為零，故鉛筆可以保持直立狀態(tài)。但事實上，這與我們的生活經驗相悖，不論我們怎樣努力地嘗試，很難把鉛筆筆尖向下直立在在桌面上。
從上面鉛筆的例子中，我們知道平衡其實有兩類。一類平衡是物理上有可能實現的，這種平衡成為穩(wěn)定的。穩(wěn)定平衡的特征是，如果初始受到擾動而偏離了平衡位置，只要初始的偏離足夠小，對平衡位置的小偏離不會隨著時間的推移而變大。另一類平衡是物理上很難實現的，這種平衡稱為不穩(wěn)定的。不穩(wěn)定平衡的特征是，不論初始受到擾動的而偏離平衡位置多么小，對平衡位置的偏離在一定時間后總會大于事先給定的范圍。因此，刻畫平衡的穩(wěn)定性其實包含兩個基本度量，一個是初始偏離的幅值，另一個是足夠長時間后對平衡文章的偏離。對于學過數學分析的讀者，可以聯想到函數極限的e-d定義或者函數連續(xù)e-d的定義，從而給出更確切的數學描述。
仍以前面提到的鉛筆為例。筆尖向下的鉛筆之所以不可能直立在桌面上，是因為由于不可避免的擾動存在，例如鉛筆周圍空氣的流動、桌面的輕微振動等，直立的位置要受到擾動而有所偏離；一旦偏離，重力作用線就不再過支撐點，重力對支撐點的力矩將使鉛筆傾倒，這種偏離會迅速放大，導致平衡狀態(tài)破壞；因此這種平衡是不穩(wěn)定的。而末端用細線吊著的的鉛筆，盡管也受空氣流動、細線抖動等擾動而會偏離平衡位置；在重力作用線偏離捆綁點后，重力對細線捆綁點的力矩將是鉛筆回到直立的位置；這種偏離不會擴大，因此能保持平衡狀態(tài)；這種平衡是穩(wěn)定平衡。
平衡只是要求初始的誤差不擴大，但沒有涉及初始的誤差是不是減小。如果擾動導致的初始偏離不僅不增大，反而在時間足夠大后能回到平衡位置，這種穩(wěn)定性稱為漸近穩(wěn)定性。例如，一粒小米放在半球形的碗里，則碗的最低位置是平衡位置。被移開最低位置的小米不會走的更遠，因此平衡是穩(wěn)定的。若小米與碗沒有摩擦，小米也不會回到平衡位置，而是在平衡位置周圍振蕩，因此平衡不是漸近穩(wěn)定的。若小米與碗之間存在模型，則小米最后會重新停在平衡位置上，這就是不僅是穩(wěn)定而且也是漸近穩(wěn)定了。
根據所涉及問題的需要，平衡的穩(wěn)定性還可以進行更細致的刻畫。如果平衡的穩(wěn)定只是對很小的初始偏離成立，這種穩(wěn)定性成為局部穩(wěn)定性；如果對任意大的初始偏離都成立的穩(wěn)定性成為全局穩(wěn)定性。平衡意味著，對于任意時間的運動偏差范圍，都存在一個初始偏差范圍，在這個范圍內，運動偏差幅值小于給定的值。一般而論，運動偏差幅值與初始偏差范圍的對應數量關系，與初始時刻有關；如果這種對應關系與初始時刻的選擇無關，相應的穩(wěn)定性稱為一致穩(wěn)定性。穩(wěn)定的各種性質可以累加，例如有全局一致漸近穩(wěn)定。
回到開始鉛筆能否以筆尖立住的問題。雖然在固定的桌面上鉛筆不能直立，但如果把筆尖放在手指頭上，手適當運動，還是有可能保證鉛筆直立。當然，這需要練習以掌握技巧。這種通過主動輸入使得原來不穩(wěn)定的平衡變成穩(wěn)定的過程，稱為鎮(zhèn)定。鎮(zhèn)定是很典型的一類控制問題。

3 平衡穩(wěn)定性的判斷
無論在理論研究還是工程應用中，穩(wěn)定性的判斷都是一個重要的問題。建立穩(wěn)定性的判據有兩種途徑。一種是發(fā)展一般的判別方法，并應用于具體系統。這方面的代表性工作是俄羅斯數學家和力學家李雅普諾夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857-1918)1892年在其博士論文中提出的直接方法又稱第二方法。他的博士論文是劃時代的工作，其中給出了穩(wěn)定性的嚴格數學定義，提出了利用線性化系統本征值判斷穩(wěn)定性的第一方法和構造后來一個專門函數判斷穩(wěn)定性的第二方法?！秶H控制雜志》在該文發(fā)表100年后，重新發(fā)表該文英文譯文([10])。另一種途徑就是針對具體的物理系統，發(fā)展相應的判別方法。以下介紹后一類型工作的例子，所研究的具體系統是保守系統。
最早的穩(wěn)定性判據是意大利數學家、物理學家托里拆利 (Evangelista Torricelli, 1608-1647)在1644年提出的。托里拆利是意大利物理學家、數學家、天文學家和哲學家伽利略(Galileo Galilei, 1564–1642)的學生和生命最后2年里的助手，并且在1642年伽利略逝世后繼任的宮廷數學家和比薩學院數學教授職位。托里拆利提出，物體系統的重心處于最低位置是，該系統能保持靜止。用現在的術語，就是處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)。這與人們的物理直覺一致。如果重心不在最低文章，重力的作用就可能是重心下降，從而破壞系統的平衡。如前面所說鉛筆的例子，用細線懸掛的鉛筆重心在最低位置，任何擾動破壞平衡都使重心升高，因此這個平衡是穩(wěn)定的。而直立在桌面上的鉛筆，重心是在最高位置，任意小的擾動都能破壞平衡。中國古籍中也有類似說法。漢淮南王劉安 (前179－前122) 等所著《淮南子 說山訓》用“下輕上重，其覆必易。([11] 1109頁)”說明末不可以強于本的哲理。玩具“不倒翁”就是利用低重心導致的穩(wěn)定性。“不倒翁”的下半部分是個半球形，整個“不倒翁”的重心在半球形的球心下方，這樣重心就處于最低位置，類似與懸掛的鉛筆，不論怎樣偏離直立的平衡位置，都不會擴大偏離而倒下。
中國的欹器，就是充分利用重心變化而改變穩(wěn)定性的一種酒器。按古代文獻記載，當欹器空的時候傾斜，液體裝到一半時就會直立起來，而在裝得基本滿時又會傾斜。相傳春秋五霸齊桓公(前716－前643年)總會在座位右側放置欹器來警惕自己不要驕傲自滿。在齊桓公逝世后，許多人爭相效仿，但因欹器制作不易，后人多用金屬器物上刻上銘文放于右側代替。這也是座右銘來源的一種說法?！盾髯?宥坐》記載，思想家和教育家孔子(前551-前479)曾借欹器說明滿則覆的道理，孔子觀于魯桓公之廟，有欹器焉，孔子問于守廟者曰：‘此為何器？’守廟者曰：‘此蓋為宥坐之器，”孔子曰：‘吾聞宥坐之器者，虛則欹，中則正，滿則覆?！鬃宇欀^弟子曰：‘注水焉?！茏愚谒⒅?。中而正，滿而覆，虛而欹，孔子喟然而嘆曰：‘吁！惡有滿而不覆者哉！’([12]520頁)”類似記載也見于《孔子家語 三恕》([13] 76頁)。欹器又稱侑卮。據《文子 九守》，“三皇五帝有戒之器，命有侑卮，其沖即正，其盈即覆。([14]158頁)” 可惜現在尚未出土欹器實物。
北宋科學家、政治家沈括(1031-1095)將重心低穩(wěn)定性好的原理應用于車輛設計。他在《忘懷錄》中寫道，“安車車輪不欲高，高則搖?！薄锻鼞唁洝吩瓡呀涁?，引文見于清代類書《古今圖書集成 明倫匯編 人事典 游部》([15]62頁)。
如果系統不僅受重力作用，還有其它有勢力如彈簧力，被稱為保守系統。對于保守系統，1788年，法國數學家和力學家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)在其經典著作《分析力學》(有英譯本[16])中證明，勢能取極小值，平衡穩(wěn)定；勢能取極大值，平衡不穩(wěn)定。其中涉及的平衡位置應該是孤立的，如前述鉛筆線懸或直立的情形，都是孤立平衡位置。后來這個結果有一系列完善和發(fā)展。

4 運動穩(wěn)定性
平衡的穩(wěn)定性強調受擾動而產生初始誤差是否隨時間放大。從同樣的觀點，還可以考慮初始誤差對隨后運動的影響，即運動穩(wěn)定性。一個系統，在給定的初始條件下做未受擾動運動；在初始時刻受到擾動，對應改變了的初始條件有受擾動運動?；\統說，運動穩(wěn)定性是要求初始擾動充分小時未受擾動運動和受擾動運動足夠接近。運動穩(wěn)定性顯然是非常有實際意義的研究課題。例如，所有運載工具，外太空中的宇宙飛船，地球附件天空中的噴氣式飛機，地球表面陸地道路上的車輛，地球表面海洋湖泊上航行的船只，運行都必須平穩(wěn)，不能受到微小的外部影響就顯著改變原來的運動狀態(tài)。
為對運動穩(wěn)定性有感性認識，可以動手做個小實驗。拿本稍微厚一些的精裝書，例如字典。把書放在兩手之間，書脊對著自己，讓書繞其封面和封底的中心點連線旋轉。中心點不準確也問題不大。這樣你可以輕而易舉地讓書旋轉幾圈?，F在把書脊對著你直立的書放倒，使書脊水平并仍對著自己，拿著書的頂邊和底邊，繞頂邊和底邊中點連線旋轉，書還是能轉上幾圈。最后把前面那種水平放置的書在水平面內轉個直角，兩手拿著書脊及其對邊，繞書脊和對邊中點的連線旋轉，將會發(fā)現在與前面兩種情形相同的角速度下，書很容易翻跌和扭歪，很難保持轉動。前面兩種情形的轉動具有運動穩(wěn)定性，而后面一種轉動不穩(wěn)定。這些現象可以用穩(wěn)定性理論嚴格證明。
運動穩(wěn)定性與平衡穩(wěn)定性關系密切。一方面，平衡是運動的一種特殊情形，因此平衡穩(wěn)定性可以視為運動穩(wěn)定性的一種特殊情形。另一方面，如果選取以未受擾動運動方式運動的平動參考系，在平動參考系中研究受擾動的運動，原來的運動穩(wěn)定性也可以視為在動參考系中的平衡穩(wěn)定性。
前面討論平衡穩(wěn)定性和運動穩(wěn)定性都是強調初始條件對所有時刻運動的影響。這種穩(wěn)定性稱為李雅普諾夫意義上的穩(wěn)定性。穩(wěn)定性問題的提法，與所研究的對象有關。例如，在天體力學中，人們往往不特別關注星體具體時刻的位置，而是考慮初始擾動對整個運動軌跡的影響，這樣就有了軌道穩(wěn)定性概念。法國數學家和力學家龐卡萊(Jules Henri Poincar 1854-1912)在1892-1899年間出版的3卷本經典著作《天體力學新方法》(有英譯本[17])中，對軌道穩(wěn)定性做了系統研究。軌道穩(wěn)定性要求在初始擾動充分小時受擾動軌道與未受擾動軌道足夠接近。兩種穩(wěn)定性含義不同，李雅普諾夫穩(wěn)定性要求受擾動和未受擾動軌道上同一時間兩點間距離足夠小，而龐卡萊的軌道穩(wěn)定性要求軌道之間的法向距離足夠小。天體力學中還有其它的穩(wěn)定性定義。例如，拉格朗日穩(wěn)定性，只要求受擾動運動保持有界。在1984年，在阿波羅登月計劃中起關鍵作用的美國德克薩斯大學奧斯丁分校的工程講席教授西貝赫利(Vector G. Szebehely 1921-1997)就總結過，與天體力學相關的穩(wěn)定性概念就已經超過數十種之多( [18])。

5 結束語
除前面提到的平衡穩(wěn)定性和運動穩(wěn)定性外，還有其它類型的穩(wěn)定性理論。例如，對擾動可以有更廣泛的理解，除初始擾動外，數學建模過程中忽略的因素，也可以看作一種擾動；考察這種建模誤差對運動的影響，就有了結構穩(wěn)定性概念，又稱為魯棒性。穩(wěn)定性理論也在學科交叉中發(fā)展；穩(wěn)定性思想與計算方法結合，發(fā)展成了算法穩(wěn)定性理論；穩(wěn)定性思想與力學結合，發(fā)展成了彈性穩(wěn)定性、流動穩(wěn)定性等新理論；穩(wěn)定性思想與控制理論結合，形成了輸入-輸出穩(wěn)定性理論。

參考文獻

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Informal Explanation of Stability

Chen Liqun