自行車的學(xué)問

武際可

摘要 概略介紹了關(guān)于自行車文獻(xiàn)研究的過(guò)程以及各種研究的結(jié)果。
關(guān)鍵詞 自行車 穩(wěn)定性 陀螺效應(yīng) 前輪尾跡 控制

自行車現(xiàn)在是很普通的一種交通工具。據(jù)西方文獻(xiàn)記載，它最早是一種如圖1被稱為“好馬”（dandy horse）的滑行工具，前進(jìn)的動(dòng)力是人的腳在地上行走，還是1817年一位名叫德萊斯（Baron von Drais）的德國(guó)人發(fā)明的，取得了專利。后來(lái)經(jīng)過(guò)許多改進(jìn)，直到19世紀(jì)中葉才發(fā)展到現(xiàn)在的模樣。不過(guò)據(jù)《清朝野史大觀》記載：“黃履莊所制雙輪小車一輛，長(zhǎng)三尺余，可坐一人，不須推挽，能自行。行時(shí)，以手挽軸旁曲拐，則復(fù)行如初，隨住隨挽日足行八十里?！庇纱丝梢姡圃斓淖孕熊?，前后各有一個(gè)輪子，騎車人手搖軸旁曲拐，車就能前進(jìn)，這是史料最早記載的自行車?？梢娗宄它S履莊（1656-？）很早就發(fā)明了類似于自行車的裝置，而且不是用腳蹬而是由手搖動(dòng)曲柄前進(jìn)。
比黃履莊大一歲的清初詞人納蘭性德（1655－1685）在他的的筆記小說(shuō)《淥水亭雜識(shí)》中有一段記載：“武侯木牛流馬，古有言是小車者。西人有自行車，前輪絕小，后輪絕大，以高臨下之勢(shì)。故平地以得自行?；蚣茨九Ａ黢R乎。而坎曲折，大費(fèi)人力也?！笨梢娫谇宄?，西方傳教士就已經(jīng)把當(dāng)時(shí)西方的自行車傳到中國(guó)來(lái)了。這里說(shuō)由于前輪小后輪大，能夠“以高臨下”所以平地能夠自行的說(shuō)法，從力學(xué)上是沒有道理的。這在當(dāng)時(shí)力學(xué)學(xué)科還不成熟，力學(xué)知識(shí)也不普及的情形下的一種蒙昧的猜想，是可以理解的。至于說(shuō)到高低不平的道路上，大費(fèi)人力，是可以理解的。納蘭性德提到的自行車，大約形如圖2或圖3，不過(guò)用鏈條傳動(dòng)的自行車，大約要到19世紀(jì)末才普遍使用。

圖1 “好馬”

圖2 前輪小而后輪大的自行車

圖3 最早有鏈條傳動(dòng)的自行車

現(xiàn)今，對(duì)于一般人來(lái)說(shuō)，騎自行車是輕而易舉的事情。早期的研究大多集中注意于如何加速的問題。事實(shí)已經(jīng)證明，它是一種最省力最優(yōu)秀的非機(jī)動(dòng)交通工具。不過(guò)要講清楚行進(jìn)中的自行車為什么不倒的問題，即自行車的控制的問題，可不那么簡(jiǎn)單。這就是所謂的“自行車穩(wěn)定性”的問題，即有兩個(gè)輪子支起來(lái)的自行車，在行進(jìn)時(shí)為什么居然非常穩(wěn)當(dāng)不會(huì)傾覆？一百多年來(lái)這項(xiàng)研究吸引了許多著名的力學(xué)家、物理學(xué)家乃至數(shù)學(xué)家參加，累計(jì)發(fā)表的有名的論文，包括以英、德、法、俄、意大利扥各種語(yǔ)言的論文，在百篇以上，其中還有博士、碩士和學(xué)士的畢業(yè)論文，特別是1897年法國(guó)科學(xué)院，還為之設(shè)立過(guò)一次懸賞（Prix Fourneyron competition）。令人驚異的是，迄今這個(gè)問題很難說(shuō)已經(jīng)最后解決了。人們還在繼續(xù)研究。

從1869年英國(guó)杰出的力學(xué)家、工程師和熱力學(xué)家蘭金（William John Macquorn Rankine，1820-1872)發(fā)表了一篇題為《自行車運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)原理》（On the dynamical principles of the motion of velocipedes）。是討論自行車平衡和駕駛的最早的文章。那篇文章只是半定性的討論，對(duì)后人的影響不大。其后，茹斯（G. G. R. Routh）(1899年)、惠普耳（Francis Whipple）（1899年）[1]都相繼發(fā)表論文。卡法羅（E.Carvallo）（1899-1901年提交了300頁(yè)的論文，為此獲得法國(guó)科學(xué)院的懸賞。其后，德國(guó)著名的物理學(xué)家索墨菲（Arnold Sommerfeld）（1910年）、德國(guó)著名數(shù)學(xué)家克萊因（Felix Klein）(1910年)、著名力學(xué)家鐵木辛科和楊（Timoshenko and Young）[2]、力學(xué)家鄧哈托（J. P. Den Hartog）（1948年）都在他們的著作或論文中論及自行車的穩(wěn)定性問題。在他們之后有更多的人討論，其中有若干篇學(xué)位論文。

在1969年到1970年這一百年間發(fā)表的這許多論文，對(duì)自行車行駛的穩(wěn)定性，提出了各種模型，也列出了不同類型的微分方程組。不過(guò)其中影響比較大的一種說(shuō)法，就是自行車前輪的陀螺效應(yīng)，以至于在許多通俗讀物中都以這種觀點(diǎn)來(lái)解釋自行車的穩(wěn)定性。

對(duì)于陀螺效應(yīng)自行車穩(wěn)定性的解釋。我們簡(jiǎn)要地來(lái)做說(shuō)明。你拿一枚硬幣，讓它在平面上滾動(dòng)。如果起始時(shí)刻讓它略微傾斜，比方說(shuō)如圖4傾向左側(cè)，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它會(huì)向傾斜的這方拐彎，當(dāng)傾斜角變得愈大時(shí)，拐彎的曲率也愈大。最后到傾倒為止。

圖4 滾動(dòng)的硬幣

 

現(xiàn)在我們把這個(gè)現(xiàn)象從力學(xué)上加以分析。傾斜的硬幣受一個(gè)由作用在中心的重力和地面支撐力所形成力偶的作用。就是在這個(gè)力偶作用下硬幣滾動(dòng)才發(fā)生拐彎。現(xiàn)在我們把以上滾硬幣的情況化歸為圖5。令圖中的圓盤為硬幣，它以，圓盤的法線為OH，圓盤所受的力矩以力F與支撐處與之方向相反的力，其力矩的大小以M表示?，F(xiàn)在用握起來(lái)的右手四指的方向表示力矩作用的旋轉(zhuǎn)方向。那么伸直的拇指的方向便是圓盤法線H旋轉(zhuǎn)的方向。也就是說(shuō)圓盤繞Y軸以角速度 來(lái)旋轉(zhuǎn)，這就是圓盤拐彎所要求的角速度。就是說(shuō)。旋轉(zhuǎn)圓盤，如果不受外力矩，它會(huì)按照慣性，方向不變地轉(zhuǎn)動(dòng)下去，如果受一個(gè)外力矩的作用，它的轉(zhuǎn)動(dòng)方向會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)的方向的按照上述右手法則，而且轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 的大小是與力矩M的大小成比例的。這就是所說(shuō)的陀螺效應(yīng)。

熟悉了以上的結(jié)果，我們來(lái)討論陀螺效應(yīng)如何能夠使自行車行駛穩(wěn)定。設(shè)在行進(jìn)時(shí)自行車欲向左側(cè)傾倒，即前輪向左傾斜，這時(shí)騎車人操縱把手使前輪向左轉(zhuǎn)，這相當(dāng)于給前輪一個(gè)向左旋轉(zhuǎn)的力矩，在這個(gè)力矩作用下，根據(jù)右手定則，前輪會(huì)由傾斜向直立方向運(yùn)動(dòng)。同樣如自行車欲向右傾倒，即前輪向右傾斜，這時(shí)騎車人通過(guò)把手使前輪向右轉(zhuǎn)，這相當(dāng)于給前輪一個(gè)向右旋轉(zhuǎn)的力矩，在這個(gè)力矩作用下，根據(jù)右手定則，前輪會(huì)由傾斜向直立方向運(yùn)動(dòng)。由此，自行車自然會(huì)穩(wěn)定地向前行駛。

 

圖5？ 圓盤受力矩的運(yùn)動(dòng)示意圖

 

無(wú)論從力學(xué)原理上來(lái)說(shuō)，還是從騎車人的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，以上自行車陀螺效應(yīng)的解釋都是行得通的。所以近百年中，這種觀點(diǎn)流行比較普遍，以至于在許多科普書籍中，大半也是介紹這種觀點(diǎn)的。不過(guò)對(duì)于這種看法，也有人提出異議。著名物理學(xué)家索墨菲說(shuō)：“由車輪的構(gòu)造看出，陀螺效應(yīng)是很小的。如果要加強(qiáng)陀螺效應(yīng)，就應(yīng)當(dāng)盡可能用重的車輪的邊緣和輪胎取代輕的。即便如此，這樣弱的陀螺效應(yīng)對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性才會(huì)有少許的貢獻(xiàn)?！?/p>除了陀螺效應(yīng)的解釋外，1948年鐵木辛科和楊在他們所著的《高等動(dòng)力學(xué)》一書中，還提出了另外一種解釋。這就是，當(dāng)自行車往一側(cè)傾斜時(shí)，騎車人就用把手將前輪轉(zhuǎn)向同一側(cè)，由于前輪轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，自行車的行進(jìn)就沿著繞傾斜側(cè)的圓周，這時(shí)，離心力向圓周外，就會(huì)把自行車扶正。由這個(gè)解釋，可以得出結(jié)論，自行車的速度愈快，所產(chǎn)生的離心力便愈大。所以自行車行進(jìn)的速度愈快自行車便愈容易控制。不過(guò)，這種解釋與人們的經(jīng)驗(yàn)有點(diǎn)差別。當(dāng)人們?cè)谄降厣习岩惠v自行車推行到一定速度并且撒手，自行車會(huì)無(wú)控制地穩(wěn)定地前行一段，這時(shí)，即使在中途擾動(dòng)它一下，它也能夠回復(fù)穩(wěn)定。這說(shuō)明，自行車本身在沒有駕駛的條件下便有能夠穩(wěn)定前行的機(jī)制。

1970年，在《今日物理》雜志上，英國(guó)人大衛(wèi) 駿斯（ David E. H. Jones）發(fā)表了一篇文章[3]。這篇文章對(duì)后來(lái)的研究影響很大。文章報(bào)道了作者自制了一輛沒有前輪陀螺效應(yīng)的自行車（圖6），照樣能夠穩(wěn)定地行駛。文章用事實(shí)證實(shí)了陀螺效應(yīng)對(duì)于自行車行駛的穩(wěn)定性不是主要的。

駿斯的辦法是，在普通自行車前輪邊上，再增加一個(gè)平行的輪子，這個(gè)輪子通過(guò)傳動(dòng)與前輪旋轉(zhuǎn)方向相反，旋轉(zhuǎn)速度相同，這樣從整體上說(shuō)就抵消了前輪的陀螺效應(yīng)。盡管這樣，這輛自行車，仍然能夠行駛自如沒有任何困

圖6 駿斯的無(wú)陀螺效應(yīng)的自行車

既然陀螺效應(yīng)不是自行車穩(wěn)定前行的主要因素。而且即使沒有駕駛，在一定速度之下自行車前行也是穩(wěn)定的，于是就需要尋求新的使自行車穩(wěn)定的因素。

圖7 普通自行車的構(gòu)造

駿斯最后的結(jié)論，是基于我們平常的經(jīng)驗(yàn)。當(dāng)我們將自行車直立時(shí)，自行車前輪是向前而沒有偏轉(zhuǎn)角的。如果我們讓自行車傾斜一個(gè)角度，相應(yīng)地，自行車的前輪也就會(huì)隨之偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度。這說(shuō)明，前輪的中心高度是由自行車的傾斜角與前輪的偏轉(zhuǎn)角的函數(shù)。在自行車傾斜時(shí)，前輪會(huì)偏轉(zhuǎn)，以使前輪的重心（即前輪的輪心）取最低的位置。之所以能夠這樣，是和自行車構(gòu)造中設(shè)計(jì)有一個(gè)“前輪尾跡”的長(zhǎng)度有關(guān)。駿斯用計(jì)算機(jī)計(jì)算了前叉點(diǎn)（即過(guò)前輪中心水平線與前叉直線部分的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)）與自行車的傾斜角和前輪偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系。他稱之為“駕駛幾何”（steering geometry）。有了這個(gè)結(jié)果，就能夠解釋自行車行駛的穩(wěn)定性問題了。
原來(lái)當(dāng)行駛的自行車有一個(gè)傾斜角時(shí)，自行車的前輪由于有“前輪尾跡”的緣故，會(huì)自動(dòng)向傾斜的一側(cè)產(chǎn)生一個(gè)偏轉(zhuǎn)角，由于有這個(gè)偏轉(zhuǎn)角，自行車靠轉(zhuǎn)彎的離心力便會(huì)扶正。因之即使沒有人駕駛，在一定的速度之下，直行的自行車，運(yùn)動(dòng)也是穩(wěn)定的。
駿斯還研究了前輪尾跡為負(fù)的情形。這種情形下，自行車是很難于駕駛的。因?yàn)楫?dāng)自行車傾斜時(shí)，它的自然狀態(tài)，是前輪向穩(wěn)定行進(jìn)所需要的反方向偏轉(zhuǎn)。由此他的結(jié)論是自行車的穩(wěn)定性主要取決于“前輪尾跡”的長(zhǎng)度，而陀螺效應(yīng)只起很次要的作用。所以在設(shè)計(jì)自行車時(shí)，“前輪尾跡”的尺寸，是衡量自行車控制性能的一個(gè)很重要的數(shù)據(jù)。

圖8 前輪尾跡為負(fù)的情形

至此，你也許認(rèn)為關(guān)于自行車行駛的穩(wěn)定性問題，應(yīng)當(dāng)可以塵埃落定了。其實(shí)，事情還在發(fā)展。到2011年，五位學(xué)者在《科學(xué)》雜志上發(fā)表了一篇文章[4]。他們論證在既沒有陀螺效應(yīng)也沒有前輪尾跡的條件下，自行車照樣可以行駛得很穩(wěn)定。他們通過(guò)一個(gè)自行車的模擬品進(jìn)行實(shí)驗(yàn)（圖9A）。還是增加一個(gè)與前輪反轉(zhuǎn)的輔助輪子，以消除前輪的陀螺效應(yīng)（圖9B）。前輪尾跡是一個(gè)很小的負(fù)值。這樣的“自行車”在無(wú)人操縱的條件下，照樣行駛得很穩(wěn)定（圖9C）。他們并且對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行了理論探討，列出了方程組，并且討論了它的穩(wěn)定行駛范圍。他們的研究說(shuō)明，自行車雖然構(gòu)造很簡(jiǎn)單，但在一定的質(zhì)量分布情形下，實(shí)際上是一種能夠自動(dòng)控制其行駛穩(wěn)定的交通工具。其原因既不是陀螺效應(yīng)，也不是前輪尾跡。實(shí)在是妙不可言。

圖9 沒有陀螺效應(yīng)和前輪尾跡的自行車模型

人們探討自行車的穩(wěn)定性問題，已經(jīng)經(jīng)過(guò)了一個(gè)半世紀(jì)。咋一看來(lái)，似乎這樣的探討沒有什么實(shí)用意義。因?yàn)槿思热灰呀?jīng)能夠自由地駕駛自行車，自行車制造也沒有提出更多的要求。這樣的探求，似乎有一點(diǎn)書呆子的嫌疑。不過(guò)，對(duì)于真理的探求者來(lái)說(shuō)，如南朝陶弘景所言：“一事不知，以為深恥”。對(duì)于未知的事情的尋根問底的精神，正是科學(xué)精神所在。另一方面，自行車穩(wěn)定性問題，一開始就是一個(gè)人機(jī)系統(tǒng)的控制穩(wěn)定性的難題。在人類實(shí)現(xiàn)機(jī)械化的過(guò)程中，人與機(jī)器、人與汽車、人與火車、人與飛機(jī)等等，都有一個(gè)控制穩(wěn)定性的問題，而在所有這些問題中，也許人與自行車的控制問題更具有挑戰(zhàn)性。因?yàn)樗拇_看似簡(jiǎn)單而實(shí)際上卻很復(fù)雜。也正因?yàn)槿绱?，在百多年的研究的道路上，異軍迭起，新意屢出。迄今，也很難說(shuō)已經(jīng)達(dá)到盡頭。也許在繼續(xù)探求中，它會(huì)在實(shí)際應(yīng)用中開出新的花朵來(lái)。

 

圖 10 愉悅的自行車騎行者

 

 

參考文獻(xiàn)

[1]F.J.W.Whipple,The stability of the motion of bicycle, Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 30,312(1899).

[2] Timoshenko and Young, Advanced dynamics, McGraw-Hill Book Company, New York,1948

[3] Jones, David E. H. "The stability of the bicycle" . Physics Today 23 (4): 34–40. (1970).

[4] D. G. Kooijman, J. P. Meijaard, J. M. Papadopoulos, A. Ruina, and A. L. Schwab , A bicycle can be self-stable without gyroscopic or caster effects. Science 332 (6027): 339–342. (April 15, 2011).

[5] Bicycle and motorcycle dynamics,
http://en.wikipedia.org/wiki/Bicycle_and_motorcycle_dynamics
在最后這篇維基百科詞條后附有許多有價(jià)值的關(guān)于自行車研究的文獻(xiàn)，可以自由下載。




標(biāo)題？ The learning about bicycle
Abstract？ In this paper a short summary of the studies and their results on stability of bicycle motion is given。
作者？ Wu Jike？ （Professor，Peking University）