關(guān)于碾子力學(xué)原理的注記 尤 明 慶1) （河南理工大學(xué) 能源科學(xué)與工程學(xué)院，河南 焦作 454010）

1) 尤明慶，男，1964年生，教授，從事巖石力學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)研究工作。youmq@hpu.edu.cn
[caption id="attachment_1241" align="alignright" width="300"] 圖1 費(fèi)思量的石碾子（李香紅攝）[/caption]
碾子用于谷物的脫殼、去皮和粉碎，是舊時(shí)重要的生活用具，由碾臺(tái)、碾盤、碾架和碾磙構(gòu)成（圖1）。有些地方也將碾磙稱為碾輥、碾砣、碾輪、磙子以及碾子等[1]。碾盤、碾磙由巖石制成，碾架為木質(zhì)或木鐵混合。碾盤中心設(shè)鐵質(zhì)豎軸，連接碾架。碾架上固定兩個(gè)木質(zhì)的水平軸栓，碾磙兩端中心鑿圓孔或方孔再嵌入含圓孔塊石以支承軸栓；也可在碾磙方孔中固定軸栓，而在碾架上開設(shè)圓孔。以人推或畜拉碾架，帶動(dòng)碾磙一起繞豎軸轉(zhuǎn)動(dòng)，而碾磙又繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)。 1 碾子的受力分析 基于大量網(wǎng)上照片及文獻(xiàn)[1]引用的《關(guān)于華北地區(qū)的農(nóng)具調(diào)查》，碾磙為圓柱或圓臺(tái)體，長度大致在40 cm~70 cm，直徑與長度相當(dāng)或略小。通常碾磙、碾盤表面平整，偶見刻有淺槽以用于粟（小米）的脫殼；碾盤邊緣可略有凸起，以免谷物散落于地。
1.1 圓柱碾磙
[caption id="attachment_1242" align="aligncenter" width="300"] 圖2 圓柱碾磙的運(yùn)動(dòng)及摩擦力[/caption]
碾磙為圓柱體（圖2），質(zhì)量為m，半徑為 R，長度為L，里側(cè)端面距豎軸 。不考慮最初的起動(dòng)階段，人以均勻速度走動(dòng)，推動(dòng)碾架繞豎軸以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，碾磙繞水平軸旋轉(zhuǎn)角速度為 ，則碾磙與碾盤接觸線上距里側(cè)端面 處的速度為
(1)

在距碾磙內(nèi)側(cè)端面
(2)

處速度為零。顯然，碾磙只有一個(gè)截面作純滾動(dòng)，其內(nèi)側(cè)作向后滑移，外側(cè)向前滑移。碾子對(duì)谷物的作用不僅是豎直方向的重力擠壓，還存在水平方向搓動(dòng)即剪切力，有利于實(shí)現(xiàn)谷物的脫殼、去皮和破碎。與碾同音的漢字“捻”和“拈（撚）”都具有相對(duì)搓動(dòng)的含義。 碾磙自轉(zhuǎn)動(dòng)量矩的數(shù)值恒定而方向不斷改變，需要受到垂直于紙面向外的力矩，或產(chǎn)生垂直于紙面向內(nèi)的陀螺力矩[2]。豎軸不能對(duì)碾架作用豎直力，因而陀螺力矩將使碾盤對(duì)碾磙的支承力外側(cè)增大而里側(cè)減??；不過因轉(zhuǎn)速較低，合力作用點(diǎn)偏離中點(diǎn)距離小于碾磙長度的 1%。陀螺力矩的作用可不必考慮。 碾磙與碾盤之間的水平作用力類似于滑動(dòng)摩擦，摩擦因子 與所碾谷物及其破碎程度相關(guān)，筆者對(duì)面粉的初略測試結(jié)果是0.5 左右。碾磙自轉(zhuǎn)速度恒定，則所有作用力關(guān)于其水平軸的力矩為零，有 0 = L/2。摩擦力關(guān)于碾盤中心豎軸的力矩為 (3)

這就是推碾者需要提供的力矩，經(jīng)碾架、水平軸栓提供力偶而作用于碾磙。巖石的比重約為 2.7，重度 約為 26.5 kN/m3。碾磙直徑為 50 cm 即半徑R為 25 cm，長 L為 50 cm，質(zhì)量m為 265 kg； =10 cm，力矩為162 N？m；若推碾者繞行半徑為 1 m，則推力為 162 N。 碾磙繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，需要向心力 (4)

則 F = 36.6 N。若人推碾速度1 m/s，則F = 92.8 N，大于推力的一半。又，碾磙與碾盤之間谷物變形使碾磙逐步向外蠕動(dòng)，最終不是碾盤的徑向摩擦、而是碾架和中心豎軸來承載離心力。
1.2 圓臺(tái)碾磙 畜拉的大碾子多是直圓柱體，人推的碾磙可以制作成圓臺(tái)狀，大端在內(nèi)側(cè)。記臺(tái)體內(nèi)外側(cè)半徑為R和r，其余符號(hào)延續(xù)前文。因錐度較小而不考慮碾磙傾斜的影響，由水平作用力即摩擦力關(guān)于碾磙轉(zhuǎn)軸的力矩為零，可求得純滾動(dòng)截面的半徑 (5)
若圓臺(tái)形碾磙的大端直徑 55 cm、小端直徑 45、長為 50 cm，則質(zhì)量266 kg，比直徑 50 cm、長50 cm的圓柱形碾磙僅重 0.8 kg。純滾動(dòng)截面的半徑R0 =25.4 cm，距大端21.3 cm；兩側(cè)為126.5 kg 和139.5 kg，大端側(cè)較小。碾磙與碾盤之間的摩擦合力為 64 N，不再為零：大端在內(nèi)時(shí)合力向后。 摩擦力關(guān)于碾盤中心豎軸的力矩 (6)

這也是推碾者必須提供的力矩。圓臺(tái)大端在內(nèi)時(shí)力矩較大，為182 N？m；而在外時(shí)僅為137 N？m。作為參考，推動(dòng)直徑45、50和 55 cm，長50 cm 的圓柱碾磙所需力矩為132、162和197 N？m。
1.3 討論 上述數(shù)值是基于碾磙與碾盤平整接觸的理想狀態(tài)。不過，谷物初碾時(shí)尺度較大，玉米在 5 mm 左右，碾磙需要壓縮、翻越谷物，必然受到向后的水平阻力。即使是圓柱碾磙，其底部受到的水平作用合力并不為零，推碾所需的力矩也就增大。筆者所購木質(zhì)碾子模型，不能壓碎大米，只能推之滑移，而自身不再繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 與同等質(zhì)量的圓柱碾磙比較，若圓臺(tái)碾磙的大端在內(nèi)側(cè)，而谷物總是靠近碾盤中心添加，在碾磙較大直徑和較大豎直壓力下易于被翻越、壓縮而降低高度；谷物產(chǎn)生的水平阻力對(duì)豎軸的力臂也較小，減小了推碾者的出力。谷物初步破碎之后經(jīng)傾斜臺(tái)面推擠或笤帚掃刷向外；碾磙外側(cè)盡管直徑較小，壓力較小，但滑動(dòng)速度較大，粉碎效果較好。 平穩(wěn)碾壓時(shí)，圓臺(tái)大端在內(nèi)側(cè)時(shí)所需力矩較大，或者說有效工作阻力較大，表明其粉碎谷物的效率較高；干活兒總得出力才能見效。該力矩低于初期破碎谷物時(shí)的數(shù)值，并不會(huì)構(gòu)成推碾的實(shí)際困難。大端在內(nèi)側(cè)時(shí)純滾動(dòng)截面比在外側(cè)時(shí)更靠近碾臺(tái)中心，近7.4 cm；因而自轉(zhuǎn)速度較小，碾磙相對(duì)于碾盤的滑動(dòng)速度更大，有助于谷物的粉碎。極而言之，若大端在外側(cè)，且頂點(diǎn)正好位于碾盤中心，則碾磙作純滾動(dòng)而最為省力，但只能將谷物壓成餅狀。 圓臺(tái)制作增加了難度和時(shí)間，但與同重量的圓柱碾磙相比，可以增大破碎能力，減小初碾谷物時(shí)阻力，提高后期碾壓粉碎的效率。某些博物館將圓臺(tái)碾磙的大端置于外側(cè)，或許有誤。
[caption id="attachment_1249" align="alignright" width="300"] 圖3 推碾的方向和位置[/caption]
2 推碾的方向和位置
石磨上下盤（扇）都有齒槽，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可將物料向外推送，因而只能以單一方向——通常是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)[3]。碾子是對(duì)稱結(jié)構(gòu)；不過，人多數(shù)右側(cè)手臂力量較強(qiáng)，而逆時(shí)針推碾右手在外側(cè)，可以得到較大力矩：若推力X>x, 力臂Y>y, 則力矩XY+ xy > Xy +xY。 基于眾多網(wǎng)上視頻、照片及少量咨詢，可以確認(rèn)推碾位置在A 或B，即在碾架內(nèi)側(cè)向外推碾（圖3）。這樣不僅視覺效果較好，且可以減小豎軸與碾架的作用力及摩擦引起的無效阻力矩，延緩軸孔磨損，降低噪音。噪音高低也是結(jié)構(gòu)是否優(yōu)良的標(biāo)志，且容易判別。 如前所述，碾磙繞碾盤中心豎軸轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生離心力，推碾速度較快時(shí)其數(shù)值可以與推碾力相當(dāng)；而在位置b向內(nèi)、或B向外推碾，分別是推力與離心力之和、或之差作用于豎軸。后者顯然較優(yōu)。 大碾子的轉(zhuǎn)動(dòng)速度較低，離心力相對(duì)較?。欢腠夼c碾盤之間水平作用的合力相對(duì)增大，在位置 A向外推碾時(shí)部分推力可以由碾盤的作用力平衡，從而減少豎軸與碾架之間的作用力。畜拉的大碾子當(dāng)然應(yīng)拴套于A。 如果兩個(gè)人推碾，主推者得在位置A 或B，而力弱輔助者在對(duì)稱位置a 或b；在C處推碾也是為了減小豎軸與碾架之間的作用力。 3 碾子與冬小麥 石轉(zhuǎn)磨發(fā)明于春秋，制作困難，開鑿齒槽對(duì)石材要求較高，且需定期修整[1, 3]；時(shí)至西漢，民間仍很缺乏。與此相應(yīng)，秋播夏熟的冬小麥在4000年前或更早自西亞傳入后，盡管適宜北方氣候，但僅在少數(shù)地方種植，長期不被當(dāng)作主要糧食作物[4, 5]——小麥若不被粉碎去麩而整粒煮食，乃是“惡食”，如南宋？朱翌“邦人饋米不肯取，示以麥飯吾所有”。幼時(shí)也曾聽祖父說，塾師曾以“蔥羹麥飯兩相宜，麥補(bǔ)丹田蔥潤脾；太守休言其味淡，前村尚有未成炊”告誡學(xué)生[6]。 碾子最早出現(xiàn)于東漢[1]，其制作難度較低，使用壽命極長，地方擁有量會(huì)累積增多。或許是碾子，而不是石轉(zhuǎn)磨，促進(jìn)了冬小麥在北方的傳播。至于人口即勞動(dòng)力優(yōu)勢對(duì)冬小麥傳播及兩年三熟制的決定性作用[5]，似仍可討論。人口數(shù)量與糧食生產(chǎn)本是相互促進(jìn)而非因果關(guān)系。 歷史上北人因戰(zhàn)亂多次大規(guī)模南遷，冬小麥隨之南傳，出現(xiàn)一年稻麥兩熟的輪作；但北人融入當(dāng)?shù)睾蠖喾艞壭←湺鴨畏N水稻，一年一熟[5]。這或許緣于南方缺少加工小麥的器物。碾盤直徑 180 cm、厚 20 cm時(shí)質(zhì)量已達(dá)1370 kg，在江淮水網(wǎng)地區(qū)運(yùn)輸困難。 4 結(jié) 語 糧食是人類生存的根本所在，由此產(chǎn)生了眾多用具，進(jìn)而影響糧食作物的傳播和人口的增加。這些用具經(jīng)千百年來的傳承演變，已經(jīng)完全符合力學(xué)原理，顯示出能工巧匠對(duì)萬物之理的探究和理解。撫摸渾重的碾磙，遙想先民追求美好生活的辛勞和智慧，敬仰之情油然而生。
參考文獻(xiàn) 1 周 昕. 中國農(nóng)具通史. 濟(jì)南：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2010. 312-337；789-791. 2 劉延柱，朱本華，楊海興. 理論力學(xué)(第3版). 北京：高等教育出版社, 2009. 401-429. 3 尤明慶. 關(guān)于石轉(zhuǎn)磨力學(xué)原理的注記. 力學(xué)與實(shí)踐，2014, 36(?)：??-?? (You Mingqing. A note to the mechanical principle for the millstones. Mechanics in Engineering, 2014, 36(?): ??-?? (in Chinese)) 4 程 龍. 一部紙筆完成的耕耘. 讀書，2012，(10)：57-62.(Cheng Long. A book of ploughing with pen on paper. Reading, 2012，(10)：57-62 (in Chinese)) 5 韓茂莉. 中國歷史農(nóng)業(yè)地理(上). 北京：北京大學(xué)出版社, 2012. 315-371. 6 尤明慶. 詩句為什么有不同的版本. http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-758567.html