談談彈塑性力學中的簡化問題

徐秉業(yè) 王曉純

（清華大學） （北方工業(yè)大學）

摘要：本文討論了彈塑性力學中的基本假設、本構模型和簡化分析方法。指出在這一領域中，簡化是非常重要的和必需的。
最簡單的往往是最合理的，簡練才是真正的豐富
力學是從工程實際中來的，而工程實際經(jīng)常是非常復雜的，要用分析的方法解決這類問題，是非常困難的，因此，在在研究這類問題時，需要對問題進行簡化。

（一），關于材料的簡化

在彈塑性力學中，經(jīng)常要作一些假設，實際上這些假設就是重要的簡化。例如假設物體是連續(xù)的，因為只有物體是連續(xù)的，物體內(nèi)的應力、應變和位移才可能是連續(xù)的，從而才可能用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示它們。又比如假設物體是均勻的，各向同性的，而且在物體中無初始應力，即認為整個物體所有各部分的彈性或塑性性質(zhì)都是相同的，并不隨著坐標位置的改變而發(fā)生變化 ，這樣，使分析和計算大為簡化。在彈塑性力學中，對于材料的假設，實際上是一種重要的簡化，而小變形假設，即假設物體受力以后，整個物體各點的變形都遠小于物體的尺寸，在此情況下，可不考慮由于變形引起的物體尺寸和位置的變化;在建立幾何方程和物理方程時，可以略去應變、轉(zhuǎn)角的二次冪或二次乘積以上的項，使所得到的關系式都是線性的，從而方便了分析和計算。
（二）根據(jù)實驗資料對應力和應變關系進行簡化
研究應力與應變關系時，材料的單向拉伸曲線是基本依據(jù)，在分析問題時，應抓住問題的本質(zhì)，對材料的單向拉伸曲線進行簡化。簡化的前提是該模型必須和所研究的材料符合較好，而且數(shù)學表達式簡單。根據(jù)實際問題中常遇到的材料，經(jīng)常采用以下一些簡化的應力--應變關系模型，即：線彈性模型、非線性彈性模型、理想彈塑性模型、線彈性線性強化模型、剛塑性模型、冪強化模型和脆塑性模型。在彈性力學中，線彈性力學模型獲得了很好的應用。這時應力應變關系服從胡克定律，而且彈性常數(shù)不隨應力或應變的大小而變化。因為在許多工程問題中變形都比較小，符合小變形的假設，所以計算結(jié)果和實際情況符合較好。對于非線性彈性力學，由于涉及大變形問題，求解具體問題比較復雜，所以至今能求解的問題仍很少。在塑性力學中，經(jīng)常將復雜的拉伸曲線簡化為理想彈塑性材料模型進行研究，這個模型雖然比較簡單，但由于需要區(qū)分彈性和塑性兩個不同的區(qū)域進行研究，具體分析時，仍比較復雜，所以只在一些簡單問題中，獲得了解析解。由于剛塑性材料的計算模型簡單，所以在結(jié)構塑性極限分析和全屬塑性成形的問題中獲得了廣泛的應用，而且得到了許多有價值的理論分析成果。在研究具有強化性質(zhì)的材料時，采用冪強化材料模型是比較方便的，因為它的數(shù)學表達式簡單。在加載過程中不需要按彈性區(qū)和塑性區(qū)去進行分析，因而便于應用。
在采用各種變形體模型分析問題過程中，將單向拉伸曲線推廣到復雜應力狀態(tài)時的等效應力和等效應變曲線，即采用單一曲線假定具有重要意義。這一簡化在比例變形情況下有實驗依據(jù)。
（三）求解彈塑性力學問題簡化方法
（1）線彈性力學問題的求解 在彈塑性力學中，為了能通過已知量求出應力、應變和位移等未知量，首先要從問題的靜力學、幾何學和物理學三方面出發(fā)，建立這些未知量所滿足的彈性力學基本方程和相應的邊界條件。在幾何學方面要求物體在變形前和變形后都是連續(xù)的，據(jù)此建立起位移和應變之間的關系。在靜力學方面主要是建立物體的平衡條件，反映這個規(guī)律的數(shù)學方程有平衡微分方程和載荷的邊界條件。在物理學方面則要建立應力與應變或應變增量之間的關系，在線彈性體中，應力與應變呈線性關系，這就是大家熟知的廣義胡克定律。
在線彈性力學中，平面問題比較簡單，在此情況下，有3個應力分量，3個應變分量和2個位移分量，一共有8個未知函數(shù)。而已有的是8個條件，它們是2個平衡方程，3個幾何方程和3個物理方程，因而問題是有解的。但是，這里所遇到的問題是要聯(lián)立求解5個微分方程和3個代數(shù)方程，在數(shù)學上仍會遇到許多困難。因此發(fā)展了一個用應力函數(shù)求解彈性力學平面問題的方法。所謂應力函數(shù)方法就是要找到一個函數(shù)，這個函數(shù)滿足平衡條件又滿足變形協(xié)調(diào)條件以及物理條件，所以只要這個函數(shù)能滿足問題邊界條件，則用這個函數(shù)表示的應力，便是所要找的應力。有了應力便可以通過應力應變關系找出應變，最后再通過應變與位移的關系找出滿足位移邊界條件的位移。
（2）彈塑性力學問題的求解 在彈塑性力學中本構關系的研究卻要復雜得多。首先彈塑性體的本構關系中，應力和應變之間已經(jīng)沒有一一對應的關系，應變的大小，不僅與載荷有關，而且與變形歷史有關。在具體求解邊值問題時往往遇到許多數(shù)學上的困難。在塑性力學求解問題中，對屈服函數(shù)進行簡化具有重要意義。從計算角度來看，當主應力大小次序為已知時，應盡量采用特雷斯卡屈服條件.因為它是一組線性代數(shù)方程式，求解問題比較方便。若采用最大正應力屈服條件時，有時使計算過程更為簡化，而計算結(jié)果與用其他屈服條件所獲得的結(jié)果相差并不大。利用這種線性化了的屈服條件計算各種邊界條件的環(huán)板和軸對稱結(jié)構都獲得了很有好的結(jié)果。
為此，塑性力學發(fā)展了許多行之有效的方法，例如，靜定問題求解法、滑移線法、主應力法、能量法、參數(shù)方程法、加權殘值法和界線法等?，F(xiàn)選兩種比較成功且經(jīng)常使用的方法介紹如下:
（a）靜定問題求解法 這類問題又稱簡單問題。其特點是平衡方程、屈服條件的數(shù)目與所求未知量的數(shù)目相等，因而不用使用塑性力學中的非線性的本構關系便能找出所求的未知量。塑性力學中的一維問題大都屬于這類問題。例如旋轉(zhuǎn)圓盤、厚壁圓筒、厚壁圓球、實心和空心受扭圓軸、各種截面梁的彈塑性彎曲等都屬于這類問題。這類問題雖然求解簡便，但在工程實際中卻經(jīng)常遇到，因此很有應用價值。
（b）界限法 又稱上、下限法，是一種很有應用價值的分析方法。由于塑性力學的物理關系是非線性的，因而要找到能滿足全部塑性力學方程的解是非常困難的，因此若能找到滿足一部分方程的解，而又能對這些解的性質(zhì)作出估計，這項工作是很有意義的。在界限法中，將塑性力學的方程分為兩類:第一類方程包括平衡方程、屈服條件和力的邊界條件，這些條件稱為靜力條件，在這些條件中完全不包括幾何方面的要求。若某一個解能滿足上述的靜力條件，則稱該解為靜力解，用靜力解求得的極限載荷一定比完全解所求得的極限載荷小，最多等于完全解的極限載荷。這里所謂的完全解就是滿足塑性力學全部條件的解。另一類方程 則包括外力所作的功等于內(nèi)部所耗散功的條件以及結(jié)構的幾何邊界條件，這里沒有考慮靜力方面的要求，用這種方法求解，稱為機動法，用機動法所求得的極限載荷一般都比完全解所求得的極限載荷大，其中最小的載荷可能與完全解所求得的極限載荷相等。機動法又稱上限法。上限法在金屬塑性成形問題中和板殼塑性極限分析中獲得了非常廣泛的應用。破壞機構可以通過實驗方法找到。最合理的破壞模式也就是和實驗結(jié)果一致的模式。
(四) 結(jié)論
由以上討論看出，在彈塑性力學中，從材料、變形規(guī)律和求解問題方法都需要進行合理簡化，因為簡化得合理，才能求得結(jié)果而且所獲得的結(jié)果才會和實際問題吻合良好。學好彈塑性力學的主要目的是把所學到的知識應用到解決工程實際問題，而工程實際問題往往都是非常復雜的，因此在學好彈塑性力學的基礎上，要繼續(xù)學會對復雜工程問題進行簡化，忽略次要矛盾，抓住主要矛盾，用這一思路去分析問題和研究問題一般都能獲得比較理想的結(jié)果。
參 考 文 獻

1徐秉業(yè)編著 簡明彈塑性力學 北京 高等教育出版社2011

About the Simplification in Theory of Elasticity and Plasticity
Xu Bingye  Wang Xiaochun
(Tsinghua University) (North China University of Technology)
(abstract)
The present paper is concerned with the basic hypothesis, constitutive model of materials and some simplified methods in the theory of elasticity and plasticity. It is demonstrated that the simplification in this field is very important and necessary.