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水中豎蛋與拉格朗日定理

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劉延柱1)

（上海交通大學(xué)工程力學(xué)系？ 上海？ 200240）

雞蛋的形狀接近一個(gè)長(zhǎng)橢球，只能平臥在桌面上，很難豎立起來(lái)。雖然豎蛋并非絕無(wú)可能，但成功的案例多因各種輔助因素起了作用^[1]。從能量角度分析，直立的雞蛋稍有傾斜，重心即下降，可見(jiàn)直立狀態(tài)的重力勢(shì)能為極大值。平臥的雞蛋如朝兩頭傾斜則重心上升，表明平臥狀態(tài)的勢(shì)能為極小值。如沿圓周方向偏移，因重心高度不變，勢(shì)能也不變而處于隨遇平衡狀態(tài)。
應(yīng)用拉格朗日的穩(wěn)定性定理，不難從理論上對(duì)上述現(xiàn)象作出解釋。拉格朗日定理指出：如保守系統(tǒng)的勢(shì)能在平衡位置處取孤立極小值，則平衡位置是穩(wěn)定的^[2]。滿(mǎn)足一些補(bǔ)充條件時(shí)，其逆定理也能成立^[3]。
將雞蛋放進(jìn)水里，情況就有些復(fù)雜，因?yàn)槌霈F(xiàn)了與重力方向相反的浮力。雞蛋的比重大于水的比重，放進(jìn)水里就要沉底。雞蛋一頭稍尖，一頭稍鈍，鈍頭處有個(gè)小氣室。所以雞蛋的重心朝尖頭方向稍稍偏離橢球的幾何中心。不同作用點(diǎn)的浮力與重力構(gòu)成力偶，將雞蛋的鈍頭稍稍抬起，而不是平躺在水底。如果改變浸泡雞蛋的液體成分，隨著液體比重的升高浮力增大抬起的角度也隨之增大。不斷增大液體的比重，使鈍頭不斷往上抬，如能抬高到垂直位置，豎蛋問(wèn)題也就能在水中得到解決了。
要分析雞蛋在水中的平衡狀態(tài)和穩(wěn)定性，拉格朗日定理仍可以應(yīng)用。因?yàn)橛懻撿o力學(xué)問(wèn)題可忽略流體動(dòng)力效應(yīng)。僅考慮保守性質(zhì)的液體浮力時(shí)，水中的雞蛋仍屬于保守系統(tǒng)。
討論這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是要對(duì)雞蛋的幾何形狀作出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)描述。因?yàn)殡u蛋傾斜時(shí)接觸點(diǎn)沿蛋殼移動(dòng)的規(guī)律完全取決于蛋殼的外形。將蛋殼視為長(zhǎng)短半軸為和的旋轉(zhuǎn)橢球曲面。先將雞蛋的尖端豎在臺(tái)面上（用手扶住不讓它倒下），慢慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直到它的側(cè)面與臺(tái)面接觸，雞蛋的幾何中心距臺(tái)面的高度必不斷減小。如繼續(xù)朝原方向轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)的高度又開(kāi)始增大直至鈍頭與臺(tái)面接觸。將雞蛋的尖端至鈍端的對(duì)稱(chēng)軸記為軸，其相對(duì)垂直軸的角度記為，則點(diǎn)高度隨角先減小后增大的變化規(guī)律可用函數(shù)近似地表示為

對(duì)于尖端或鈍端觸底和側(cè)面觸底兩種情況，分別有

從中導(dǎo)出，。公式(1)所描述的雞蛋并非嚴(yán)格按數(shù)學(xué)定義的橢球，但已足夠接近雞蛋的實(shí)際形狀且便于數(shù)學(xué)處理（圖1）。
設(shè)雞蛋的重心偏離幾何中心的微小距離為，令，則點(diǎn)的高度為

忽略小氣室的影響，將重量除以體積作為雞蛋的比重。設(shè)液體的比重與雞蛋比重之比為，如雞蛋的重量為，則液體的浮力為。離水的雞蛋是的特例。限制為小于的參數(shù)，因?yàn)槿纾u蛋將在液體中懸浮，甚至部分浮出液面與沉底的前提發(fā)生矛盾。由于重力作用于質(zhì)心，而浮力作用于幾何中心，雞蛋的總勢(shì)能為

根據(jù)拉格朗日定理，先計(jì)算的極值條件

此條件的3個(gè)解對(duì)應(yīng)于3個(gè)可能平衡位置

其中的平凡解和表示尖端觸底和鈍端觸底的兩種直立狀態(tài)。非平凡解表示側(cè)面觸底狀態(tài)，其存在條件為

此條件要求參數(shù)小于某個(gè)臨界值
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就水的情況而言，因遠(yuǎn)小于，條件(7)必能自動(dòng)滿(mǎn)足，接近且稍小于。如增大液體的比重，則隨的增大，即隨液體比重的增大而減小，鈍端趨于向上抬起。在的臨界情形，而與豎直狀態(tài)的完全重合。如，因不滿(mǎn)足條件(7)，非平凡解即不復(fù)存在。
為判斷平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，必須計(jì)算的2階導(dǎo)數(shù)，得到

將式(6)表示的各平衡狀態(tài)代入上式，得出

應(yīng)用拉格朗日定理判斷，重心在浮心上方的直立狀態(tài)的勢(shì)能為極大值，為不穩(wěn)定平衡，側(cè)臥的的勢(shì)能為極小值，為穩(wěn)定平衡。浮心在重心上方的直立狀態(tài)的穩(wěn)定性則取決于液體的比重。液體比重小于臨界值時(shí)，即使浮心在重心上方也不能穩(wěn)定，當(dāng)比重增大到時(shí)此直立狀態(tài)方能穩(wěn)定。
圖2為雞蛋的平衡狀態(tài)的位置及其穩(wěn)定性隨參數(shù)變化的靜態(tài)分岔圖，以實(shí)心線(xiàn)和空心線(xiàn)表示穩(wěn)定和不穩(wěn)定平衡。臨界值成為參數(shù)影響平衡狀態(tài)的分岔點(diǎn)。時(shí)原來(lái)的3個(gè)平衡位置減為兩個(gè)，且原來(lái)不穩(wěn)定的轉(zhuǎn)為穩(wěn)定?？梢?jiàn)浮力的出現(xiàn)有助于雞蛋的穩(wěn)定，但液體比重必須超過(guò)臨界值，方能使低重心的豎直狀態(tài)成為穩(wěn)定平衡。水中豎雞蛋也僅在此特殊條件下方有可能實(shí)現(xiàn)。此穩(wěn)定性條件也包括，即液體與雞蛋比重完全相同的特殊情形。此時(shí)雞蛋可解除底面約束，以浮心高于重心的豎直狀態(tài)懸浮在液體中。

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參考文獻(xiàn)
[1]？？？？？？ 劉延柱. 立春時(shí)節(jié)話(huà)豎蛋. 力學(xué)與實(shí)踐，2013，35(1): 97-98
[2]？？？？？？ 劉延柱. 高等動(dòng)力學(xué). 北京：高等教育出版社，2001
[3]？？？？？？ 王照林. 運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性及其應(yīng)用. 北京：高等教育出版社，1992



圖1 雞蛋高度與姿態(tài)角的關(guān)系？？？？？？？ 圖2　平衡狀態(tài)隨液體比重變化的分岔圖

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