應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的結(jié)合－

彈性力學(xué)建模和解法

 

嵇 醒

（同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院, 上海200092）

 

1引言
錢偉長^[1-3]始終把提升和發(fā)展中國力學(xué)放在心上。年過七旬，他創(chuàng)辦了《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)報》之后，又創(chuàng)立了應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所。值得注意的是他把學(xué)報和研究所都定名為《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)》。
錢偉長曾講過為什么要起名為應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所？他說：“就是要推動數(shù)學(xué)與力學(xué)繼續(xù)結(jié)緣，以先進的數(shù)學(xué)工具來研究力學(xué)，以力學(xué)的進展來推動現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展”。這是錢偉長一生的力學(xué)實踐所換來的箴言。
錢偉長講的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)》是指通過應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的巧妙結(jié)合以達到應(yīng)用力學(xué)的創(chuàng)新發(fā)展。應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的結(jié)合是錢偉長創(chuàng)新研究的精微所在，這是錢偉長應(yīng)用力學(xué)創(chuàng)新思想的核心。
向錢偉長學(xué)習(xí)，就是要學(xué)習(xí)錢偉長的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》的研究理念。要學(xué)習(xí)錢偉長的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》的研究理念，必須首先懂得錢偉長的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》提法的深刻內(nèi)涵。
本文以彈性力學(xué)的建模和主要解法來探索《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》的深刻內(nèi)涵，領(lǐng)略錢偉長學(xué)術(shù)創(chuàng)新的源頭，從而提升力學(xué)研究的創(chuàng)新能力。
2彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立
彈性力學(xué)的基本方程是由法國的物理學(xué)家及工程師納維埃和數(shù)學(xué)家哥西，泊桑，建立于19世紀20年代^[4,5]。值得一提的是這套基本方程的建立也是數(shù)學(xué)與力學(xué)的巧妙結(jié)合。他們把微積分應(yīng)用于彈性體的變形分析，引入了應(yīng)變、應(yīng)力的概念，將彈性體當作連續(xù)介質(zhì)處理，把一個原來是復(fù)雜的彈性體受力變形的力學(xué)問題巧妙地轉(zhuǎn)化為一組數(shù)學(xué)的偏微分方程。由幾何的位移方程，力學(xué)的平衡方程，和彈性體的本構(gòu)方程歸并而成的彈性力學(xué)基本方程, 加上三個邊界條件, 不多不少，正好可以用來求解15個應(yīng)力、應(yīng)變和位移未知函數(shù)。創(chuàng)始人的奇跡般的神奇構(gòu)想，創(chuàng)造了世界上第一個固體力學(xué)用偏微分方程表達的數(shù)學(xué)模型，達到了嘆為觀止的巧妙程度，從而開創(chuàng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)和現(xiàn)代力學(xué)相結(jié)合的時代，開啟了固體力學(xué)服務(wù)于工程的時代。
國家自然科學(xué)基金項目（10672122）資助.
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連續(xù)介質(zhì)假設(shè)是采用微積分建立彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型所必需的。抽象的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)無視各類材料的材質(zhì)和微觀結(jié)構(gòu)的差異，能夠用來解決重大工程結(jié)構(gòu)的強度問
題嗎？對此，力學(xué)家和工程師采取了二道實驗保障：即材料的本構(gòu)方程必須采用直接來自實驗測得的彈性常數(shù)，強度理論中用到的材料強度參數(shù)也必須采用直接來自材料試驗測得的性能參數(shù)。數(shù)學(xué)求解彈性力學(xué)方程時采用虛構(gòu)的連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，但
在把這種結(jié)果應(yīng)用于工程時，已經(jīng)回歸到真實材料試驗測得的性能數(shù)據(jù)，這就是彈力學(xué)和固體力學(xué)在工程應(yīng)用中取得成功的秘奧。于是，數(shù)學(xué)、力學(xué)、和工程達到了完美的結(jié)合。
由于彈性力學(xué)中采用了連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，強度校核中用到的材料失效判據(jù)不可能是基于物理的失效機理，而只能是采用以力學(xué)實驗為基礎(chǔ)的力學(xué)判據(jù)。由此可見，固體力學(xué)對于力學(xué)實驗的依賴性。
任何復(fù)雜的工程結(jié)構(gòu)的強度分析都可歸結(jié)為固體力學(xué)問題：先按彈性力學(xué)的數(shù)學(xué)模型對數(shù)學(xué)方程求取解答，再按真實結(jié)構(gòu)材料的實測強度性能進行強度校核，這是何等省力、精巧、聰明的事情。否則，單憑經(jīng)驗，現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)設(shè)計將會處于何等艱難的境地。
彈性力學(xué)數(shù)學(xué)模型的建立，從此使應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)結(jié)成了不解之緣。
3 19世紀彈性力學(xué)的發(fā)展－半逆解法
彈性力學(xué)基本方程建立之后，對彈性力學(xué)邊值問題的數(shù)學(xué)解析求解成為數(shù)學(xué)家和力學(xué)家面前的一道難題。窮盡所有偏微分方程的解法理論，找不出一套可以用來求解彈性力學(xué)基本方程的普適方法。無奈之下，彈性力學(xué)只能對具體的問題，由易到難，逐個進行研究，尋求給定邊界條件下的特解。最初的一批結(jié)果得自逆解法（試湊法），逆解法不經(jīng)過數(shù)學(xué)求解過程，直接猜出能滿足全部彈性力學(xué)方程和邊界方程的解答。例如：簡單拉伸和純彎曲^[4]。逆解法的根據(jù)是克?；舴蛭ㄒ恍远ɡ?，而克?；舴蛭ㄒ恍远ɡ淼淖C明是以彈性勢的存在和疊加原理為基礎(chǔ)的^[4]，換言之，這是力學(xué)家用力學(xué)的理由來繞過唯一性定理的數(shù)學(xué)證明的困難。對于稍微復(fù)雜一點的問題，逆解法很難奏效，所以彈性力學(xué)遇到了難以克服的數(shù)學(xué)困難而發(fā)展緩慢，難以滿足工程應(yīng)用的需求。
圣維南非圓截面軸扭轉(zhuǎn)問題的半反演法^[4]對彈性力學(xué)起到了絕處逢生的作用。從此在隨后的數(shù)十年里，半反演法成為彈性力學(xué)求解的必經(jīng)之途，開啟了彈性力學(xué)各類問題的解答的豐收期。
圓截面軸扭轉(zhuǎn)問題在材料力學(xué)中，用平面截面假設(shè)就可以解決。平面截面假設(shè)說的是圓軸受扭轉(zhuǎn)時截面作整體相對旋轉(zhuǎn)且保持為平面。根據(jù)材料力學(xué)平面截面假設(shè)，圓軸扭轉(zhuǎn)的位移表達式是
u ＝-qzy , v ＝qzx , w ＝0？ , （1)
q是單位扭轉(zhuǎn)角。由此位移表達式求出截面上剪應(yīng)力的方向與半徑垂直，大小與到圓心的距離成正比，其它應(yīng)力分量均為零。用圓軸扭轉(zhuǎn)的位移表達式（1）代入彈性力學(xué)基本方程和圓軸扭轉(zhuǎn)的邊界條件，能夠全部滿足，所以它碰巧是彈性力學(xué)的精確解。平面截面假設(shè)其實就是彈性力學(xué)的逆解法，把應(yīng)力的分布規(guī)律全都猜到了。
用這個位移表達式來處理非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)問題，卻不能全部滿足彈性力學(xué)方程和邊界條件，所以，它不是非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)問題的解答。以矩形截面軸扭轉(zhuǎn)為例，在截面周邊的剪應(yīng)力必須和截面周邊平行，在矩形截面的四個角點處剪應(yīng)力必須為零，這是矩形截面軸側(cè)面為自由的邊界條件所要求的，但是用平面截面假設(shè)的結(jié)果與此不符。
非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)問題是三維的彈性力學(xué)問題，需要滿足三維彈性力學(xué)基本方程，和非圓截面軸扭轉(zhuǎn)問題的邊界條件。但是沒有人能對此數(shù)學(xué)問題進行解析求解，求解方法不存在。也沒有人能猜出非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力分布規(guī)律，試湊法對此也無能為力。非圓截面軸的扭轉(zhuǎn)問題成為當時久攻不下的難題。
圣維南卻另辟蹊徑，既不全部套用圓軸扭轉(zhuǎn)的試湊法和平面截面假設(shè)，也不放棄其適用的部分。對圓軸扭轉(zhuǎn)的位移表達式（1）進行了恰到好處的改造。他對非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的位移表達式改為
u ＝-qzy , v ＝qzx  , w ＝q j(x,y) ,  (2)
j(x,y)是未知的截面翹曲函數(shù)，q是未知的單位扭轉(zhuǎn)角。求解非圓截面軸扭轉(zhuǎn)問題，就是要確定未知的j(x,y)和q。
位移表達式(1)和（2）的差別，只在于圓軸扭轉(zhuǎn)時原來是平面的截面保持為平面，而非圓軸扭轉(zhuǎn)時原來是平面的截面發(fā)生了翹曲。由于非圓軸扭轉(zhuǎn)時原來是平面的截面發(fā)生了j(x,y)的翹曲，使得截面上的剪應(yīng)力分布與平面截面假設(shè)不一樣，而其余的應(yīng)力分量未受影響，依然是零。圣維南放松了平面截面假設(shè)， j(x,y)翹曲函數(shù)的作用是用來調(diào)整截面上的剪應(yīng)力分布，使得非圓截面軸側(cè)面自由的邊界條件得以滿足。位移表達式(1)和（2）的這點差別導(dǎo)致解法上的巨大變化。位移表達式(1)屬于試湊法，而位移表達式（2）中u和 v用已知函數(shù)表示，w用未知函數(shù)j(x,y)表示，未知函數(shù)j(x,y)需要用彈性力學(xué)方程來確定，所以稱為半反演法。。
由式 (2)所推導(dǎo)的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力自動滿足協(xié)調(diào)方程，而彈性力學(xué)平衡方程則簡化為一個翹曲函數(shù)j 的拉普拉斯方程：

根據(jù)軸的側(cè)面自由的邊界條件，可導(dǎo)出關(guān)于翹曲函數(shù)j 的邊界條件：

式中，n是截面邊界的外法線方向。
由方程（3）和邊界條件（4）求得翹曲函數(shù)j 后，剩下的未知單位扭轉(zhuǎn)角q由桿端的扭矩M_z決定。

到這里，一個復(fù)雜的三維彈性力學(xué)扭轉(zhuǎn)問題已簡化為只需要求解一個翹曲函數(shù)j 的二維拉普拉斯方程（3）和邊界條件（4）所表示的諾伊曼（Neumann）問題，扭轉(zhuǎn)方程（3）和邊界條件（4）就是由全部三維彈性力學(xué)方程及邊界條件，經(jīng)過圣維南半反演法得到的簡化方程，二者是等價的。由半反演法得到的解析解，能夠滿足全部三維彈性力學(xué)基本方程和邊界條件，所以是嚴格精確的，沒有引入誤差。很多具體的非圓截面柱體扭轉(zhuǎn)問題都是用這個簡化方程求解得到的。
值得注意的是：由位移表達式（2）出發(fā)，推導(dǎo)方程（3－5）是輕而易舉的。由（3－5）式所表示的非圓截面柱體扭轉(zhuǎn)方程是對彈性力學(xué)基本方程的簡化，并且簡化到驚人的程度，到了無法再簡化的程度，而這套簡化方程又是精確的，和全部三維彈性力學(xué)基本方程等價。還值得注意的是：這個簡化過程是從力學(xué)概念出發(fā)而得，如果沒有位移表達式（2），任何純數(shù)學(xué)的推演，都無法從三維彈性力學(xué)基本方程推導(dǎo)到扭轉(zhuǎn)問題的簡化方程（3－5）。
這個圣維南簡化的奧妙全在于位移表達式（2）。有了位移表達式（2），簡化方程的推導(dǎo)變得可能而省力，沒有位移表達式（2），彈性力學(xué)方程的簡化就無法進行。所以位移表達式（2）是非圓截面柱體扭轉(zhuǎn)問題半反演法的關(guān)鍵。也是圣維南研究非圓截面柱體扭轉(zhuǎn)問題的理論創(chuàng)新的核心。
綜上所述，半反演法的實質(zhì)是：對有些力學(xué)問題的某些應(yīng)力或位移分量作出預(yù)先的判斷，據(jù)此簡化彈性力學(xué)基本方程，建立一個簡化的數(shù)學(xué)模型，所得簡化方程與三維彈性力學(xué)基本方程等價，然后用數(shù)學(xué)中的適當方法求解，就能獲得嚴格的彈性力學(xué)精確解。
從此半反演法成為彈性力學(xué)求解的主要途徑，開啟了彈性力學(xué)各類問題的解答的豐收期。1933年出版的浩瀚巨著：數(shù)學(xué)彈性理論教程（Love著），書中各類問題的解答都是半反演法的研究結(jié)果^[5]。
4 20世紀彈性力學(xué)的發(fā)展－復(fù)變函數(shù)解法
彈性力學(xué)中的另一類重要問題是平面應(yīng)變問題和平面應(yīng)力問題^[4]。對于此類問題位移u，v和應(yīng)力分量s_x，s_y，t_xy只和x，y有關(guān)。引入艾里應(yīng)力函數(shù)U（x, y）,
令
則三維彈性力學(xué)方程可以用一個艾里應(yīng)力函數(shù)U的二維重調(diào)和方程等價。

彈性平面問題簡化為按邊界上給定的面力或位移作為邊界條件，求重調(diào)和方程（7）的特解。這比起難以下手的三維彈性力學(xué)方程來，已經(jīng)得到了極大得簡化。盡管如此，早期的平面問題的解答，諸如簡支梁，懸臂梁，旋轉(zhuǎn)圓盤，厚壁圓筒等，是采用直角坐標多項式或極坐標中的一般解，通過逆解法求得的^[5]。直到上世紀30年代，才有了彈性平面問題的正解法——穆斯海利什維利復(fù)變函數(shù)解法^[4,6]。
彈性平面問題的復(fù)變函數(shù)解法是應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)巧妙結(jié)合的最為成功的典例。在數(shù)學(xué)里，復(fù)變函數(shù)論研究的是解析函數(shù)的性質(zhì)，它不是研究偏微分方程的解法的^[7]。可是，復(fù)變函數(shù)論里的重要結(jié)果卻被應(yīng)用來構(gòu)造成一種完美的彈性力學(xué)平面問題的解法。復(fù)變函數(shù)論和彈性力學(xué)平面問題的這一關(guān)系不是一望便知的，復(fù)變函數(shù)論用來求解彈性平面問題也不是一拍即合的。彈性平面問題的復(fù)變函數(shù)解法包含了應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)巧妙結(jié)合的精微和曲折，體現(xiàn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)巧妙結(jié)合的艱難。
滿足方程（7）的函數(shù)叫重調(diào)和函數(shù)，艾里應(yīng)力函數(shù)U（x, y）是二元重調(diào)和函數(shù)。復(fù)變函數(shù)論中，解析函數(shù)的充分必要條件是它的實部和虛部滿足哥西－黎曼條件，或者說，實部和虛部都是二元調(diào)和函數(shù)。調(diào)和函數(shù)滿足拉普拉斯方程，一定也滿足重調(diào)和方程。把復(fù)變函數(shù)論應(yīng)用于彈性平面問題的研究就是從這里開始的。
最早的研究成果是：1898年, E. Goursat導(dǎo)出了由二個解析函數(shù)j(z)和c(z)表示的任意的艾里應(yīng)力函數(shù)U(x, y)，
z=x+iy ,（8）
1909, G.V. Kolossoff導(dǎo)出了由這二個解析函數(shù)j(z)和c(z)表示的應(yīng)力分量和位移分量的表達式。
下一個走向解法的重要步驟是將平面問題的邊界條件也用這二個解析函數(shù)j(z)和c(z)表示，以第一類邊值問題為例，它的邊界條件是：

到此為止，在彈性平面問題中，只用到了復(fù)變函數(shù)論中的哥西－黎曼條件，卻已經(jīng)完成了將物理平面里求實函數(shù)U(x, y)的問題，等價變換到復(fù)平面里求解析函數(shù)j(z)和y(z)的問題。人們不禁要問：這樣的變換有意義嗎？彈性平面問題對力學(xué)家來說，是一個概念明明白白的問題，現(xiàn)在卻變成了一個物理概念難以捉摸的復(fù)變函數(shù)問題，而且，現(xiàn)在只能從一個邊界條件（9）來求出二個未知解析函數(shù)j(z)和c(z)，因為此外已經(jīng)沒有其它有關(guān)未知函數(shù)j(z)和c(z)的關(guān)系了。如果不能從一個邊界條件(9)求到二個未知的解析函數(shù)j(z)和c(z)，那么，以上的這套推導(dǎo)就是無用之功。
現(xiàn)在，成為解法的關(guān)鍵一步是怎樣從一個邊界條件(9)求到二個未知的解析函數(shù)j(z)和c(z)，即怎樣用邊界條件(9)可以唯一確定二個未知的解析函數(shù)j(z)和y(z)。熟知復(fù)變函數(shù)論的人，都清楚解析函數(shù)具有實函數(shù)無可比擬的優(yōu)異性質(zhì)，正是由于解析函數(shù)的特殊性質(zhì)，導(dǎo)致了用邊界條件(9)唯一確定二個未知的解析函數(shù)j(z)和y(z)成為可能。
復(fù)變函數(shù)論中有一個哥西積分公式：

式中，C是域R的周邊，a是域R的一個內(nèi)點，是定義在域R上的解析函數(shù)，哥西積分公式說明解析函數(shù)在域內(nèi)任何一點的值可以由其邊界上的值通過哥西積分公式獲得。這是只有解析函數(shù)才具有的性質(zhì)，這個性質(zhì)對于用邊界條件(9)來確定二個未知的解析函數(shù)j(z)和y(z)，是極為重要的。
根據(jù)哥西積分公式可以直接推出這樣的事實，即解析函數(shù)j(z)和y(z)可以展開為泰勒級數(shù)。
對于一個彈性力學(xué)平面問題的圓域問題，邊界條件右端項可以在圓周上展開成復(fù)三角級數(shù)，
s 在圓周上
再把解析函數(shù)j(z)和y(z)在圓域展開為Taylor級數(shù)：