應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的結(jié)合－

錢偉長(zhǎng)的代表作

？

嵇？ 醒

（同濟(jì)大學(xué)？ 航空航天與力學(xué)學(xué)院, 上海200092）

？？？？？？？？？？？？

1？？？？？？ ？引言
錢偉長(zhǎng)^[1-3]始終把提升和發(fā)展中國(guó)力學(xué)放在心上。年過七旬，他創(chuàng)辦了《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)學(xué)報(bào)》之后，又創(chuàng)立了應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所。值得注意的是他把學(xué)報(bào)和研究所都定名為《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)》。
錢偉長(zhǎng)曾講過為什么要起名為應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所？他說：“就是要推動(dòng)數(shù)學(xué)與力學(xué)繼續(xù)結(jié)緣，以先進(jìn)的數(shù)學(xué)工具來研究力學(xué)，以力學(xué)的進(jìn)展來推動(dòng)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展”。這是錢偉長(zhǎng)一生的力學(xué)實(shí)踐所換來的箴言。
錢偉長(zhǎng)講的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)》是指通過應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的巧妙結(jié)合以達(dá)到應(yīng)用力學(xué)的創(chuàng)新發(fā)展。應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的結(jié)合是錢偉長(zhǎng)創(chuàng)新研究的精微所在，這是錢偉長(zhǎng)應(yīng)用力學(xué)創(chuàng)新思想的核心。
向錢偉長(zhǎng)學(xué)習(xí)，就是要學(xué)習(xí)錢偉長(zhǎng)的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》的研究理念。要學(xué)習(xí)錢偉長(zhǎng)的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》的研究理念，必須首先懂得錢偉長(zhǎng)的《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》提法的深刻內(nèi)涵。本文以錢偉長(zhǎng)的代表作來探索《應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合》的深刻內(nèi)涵，領(lǐng)略錢偉長(zhǎng)學(xué)術(shù)創(chuàng)新的源頭，從而提升力學(xué)研究的創(chuàng)新能力。
2？？？？？？ 哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派的成功之道
哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派^[4]出現(xiàn)在20世紀(jì)初的德國(guó)，20世紀(jì)30年代在美國(guó)廣為傳播，并進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)。20世紀(jì)是航空航天事業(yè)突飛猛進(jìn)的時(shí)期，哥廷根學(xué)派作出了歷史性的貢獻(xiàn)^[5]，促成了飛機(jī)超過音速，人類征服宇宙。哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派在應(yīng)用數(shù)學(xué)解決不了復(fù)雜工程的需要時(shí)，創(chuàng)造性地走出了一條從工程中提煉力學(xué)問題，根據(jù)對(duì)力學(xué)問題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立盡可能近似、盡可能簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)模型，再用數(shù)學(xué)方法去求解。于是，應(yīng)用力學(xué)發(fā)展迅速，而哥廷根學(xué)派則人才輩出，引領(lǐng)航空航天和其它工程技術(shù)的日新月異的進(jìn)展。哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派走的是數(shù)學(xué)、力學(xué)、工程相結(jié)合的成功之道。




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仔細(xì)追蹤哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派的成功之道，不難發(fā)現(xiàn)他們的成功之道和彈性力學(xué)的建立和發(fā)展的軌跡有著一脈相承的淵源。哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派強(qiáng)調(diào)工程問題的近似的簡(jiǎn)化建模，可看成是允許彈性力學(xué)半逆解法有較小誤差的靈活應(yīng)用，哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派重視應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的巧妙結(jié)合則是彈性力學(xué)發(fā)展數(shù)學(xué)解析解法的延伸^[6-7]。由此可見，要學(xué)習(xí)，研究，繼承哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派的優(yōu)良傳統(tǒng)，除了要鉆研這個(gè)學(xué)派的研究成果外，在學(xué)習(xí)彈性力學(xué)的時(shí)候，關(guān)注半逆解法，關(guān)注解析解法，可以為今后走向哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派的應(yīng)用數(shù)學(xué)、力學(xué)和工程相結(jié)合的研究理念，打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
1940年，錢偉長(zhǎng)在多倫多大學(xué)師從應(yīng)用力學(xué)學(xué)派的應(yīng)用數(shù)學(xué)家J.L. Synge教授，以后又在加州理工大學(xué)von Karman 教授處做博士后，對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的結(jié)合，獲得了深刻的體會(huì)，為他畢生從事彈性力學(xué)研究，打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。
錢偉長(zhǎng)在力學(xué)中的杰出貢獻(xiàn)，呈現(xiàn)出他對(duì)哥廷根應(yīng)用力學(xué)學(xué)派有獨(dú)特的感悟^[8-10]。應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的巧妙結(jié)合是錢偉長(zhǎng)創(chuàng)新研究的精微所在，這是錢偉長(zhǎng)應(yīng)用力學(xué)創(chuàng)新思想的核心，是他盡力提倡的。錢偉長(zhǎng)創(chuàng)新研究的特點(diǎn)是在應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的巧妙結(jié)合中獨(dú)辟蹊徑，取得意想不到的結(jié)果。所以，有必要來看一下，錢偉長(zhǎng)是怎樣做的。
彈性板殼內(nèi)稟理論^[11]，彈性圓薄板大撓度問題的攝動(dòng)解法^[12]，拉格朗日乘子法在變分原理中的應(yīng)用^[13],是錢偉長(zhǎng)的三項(xiàng)里程碑式的代表作，無一不是應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的巧妙結(jié)合的佳作，無一不顯示錢偉長(zhǎng)獨(dú)辟蹊徑和刻意創(chuàng)新的特點(diǎn)。錢偉長(zhǎng)獨(dú)辟蹊徑的特點(diǎn)體現(xiàn)在他在力學(xué)中選有特別意義的理論創(chuàng)新題目、在數(shù)學(xué)中選潛在的方法、和務(wù)必達(dá)到二者結(jié)合上的創(chuàng)新和結(jié)果上的創(chuàng)新。錢偉長(zhǎng)的刻意創(chuàng)新的特點(diǎn)是注重獨(dú)創(chuàng)性。他的論文堪稱經(jīng)典，影響久遠(yuǎn)。
3？？？？？？ 彈性板殼內(nèi)稟理論？？？？？？

彈性薄板和彈性薄殼理論建立之后的數(shù)十年間，沒有人對(duì)板殼理論的基本方程與三維彈性力學(xué)的基本方程的關(guān)系研究過。錢偉長(zhǎng)在多倫多大學(xué)師從 J.L. Synge教授，以此問題作為他研究彈性力學(xué)的博士論文題目。彈性薄板和彈性薄殼方程的推導(dǎo)歷來采用直法線假設(shè)，而錢偉長(zhǎng)從三維彈性力學(xué)出發(fā)，采用中面上的拖帶座標(biāo)系，把張量分析和微分幾何作為數(shù)學(xué)工具，這是史無前例的。由這種數(shù)學(xué)工具與力學(xué)問題的結(jié)合，嚴(yán)格地從三維彈性力學(xué)方程導(dǎo)出了用板殼中面的拉伸應(yīng)變和曲率變化6個(gè)分量表示的全部方程，適用于任意形狀的殼體，把大變形的非線性也包括在內(nèi)。再把應(yīng)力和應(yīng)變分量按厚度方向的坐標(biāo)展開為泰勒級(jí)數(shù)，按中面拉伸張量、中面彎曲張量，以及中面曲率張量三者與板殼厚度的相對(duì)量級(jí)來進(jìn)行板殼問題進(jìn)行分類和近似，得到了12類薄板和35類薄殼的近似方程，把所有可能的簡(jiǎn)化都囊括其中。論文發(fā)表，使得錢偉長(zhǎng)在美國(guó)脫穎而出，時(shí)年三十。

4？ 彈性圓薄板大撓度問題的攝動(dòng)解法
彈性薄板大撓度非線性方程在1910年，由von Karman建立。Karman方程是一組耦合的非線性偏微分方程，數(shù)學(xué)中沒有針對(duì)性的求解方法，薄板結(jié)構(gòu)卻迫切需要有效的解法。在von Karman的門下做博士后的時(shí)候，錢偉長(zhǎng)著手解決這個(gè)問題。此前，J.J. Vincent 以攝動(dòng)法求解圓薄板問題，采用載荷作為攝動(dòng)參數(shù)，結(jié)果不理想。S. Way放棄攝動(dòng)法，改用冪級(jí)數(shù)解法，結(jié)果也不理想。錢偉長(zhǎng)需要在茫茫的應(yīng)用數(shù)學(xué)的海洋里尋找出路，他銳敏地看到冪級(jí)數(shù)解法不適合于非線性微分方程，應(yīng)予以放棄。攝動(dòng)法對(duì)非線性微分方程是適用的，但是以載荷作為攝動(dòng)參數(shù)不適合于薄板大撓度問題，錢偉長(zhǎng)把攝動(dòng)參數(shù)改為中心點(diǎn)的撓度和板厚之比，馬上獲得了滿意的結(jié)果，與實(shí)驗(yàn)所得的結(jié)果非常符合。此項(xiàng)研究成果于1956年，獲得了國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng)，時(shí)年四十三。
5？ 拉格朗日乘子法在變分原理中的應(yīng)用
1954年，胡海昌提出廣義變分原理的方法與彈性力學(xué)中提出最小位能原理和最小余能原理是一樣的。即首先要構(gòu)造一個(gè)變分原理的泛函，通過變分推導(dǎo)得到和彈性力學(xué)方程及邊界條件等同的歐拉方程。由于變分法中沒有從歐拉方程反推泛函的辦法，廣義變分原理的泛函也只能用試湊法得到。這已經(jīng)成為彈性力學(xué)中建立變分原理的定則。錢偉長(zhǎng)卻不甘心于此，他從變分法中，找到了拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法的原意是放松李茲法對(duì)試函數(shù)的選取，不要求預(yù)先滿足約束條件，其做法是把這些約束條件乘上拉氏乘子，計(jì)入變分原理的泛函中，然后對(duì)試函數(shù)中的未知系數(shù)和拉氏乘子看作獨(dú)立變量進(jìn)行變分，并確定這些未知常數(shù)。由此可見，拉格朗日乘子法不是用來構(gòu)造新的泛函的。可是，錢偉長(zhǎng)卻有了獨(dú)到的見解，對(duì)拉格朗日乘子法開創(chuàng)了一種全新的用法。他的做法是把最小位能原理的約束條件乘上拉氏乘子計(jì)入最小位能原理的泛函中，把這些待定的拉氏乘子和原來的變量都看作是獨(dú)立變量而進(jìn)行變分，從有關(guān)泛函的駐值條件就可以求得這些拉氏乘子用原有物理變量表示的表達(dá)式。把這些表達(dá)式代入待定的拉氏乘子中，就得到廣義位能原理的泛函。同理，從最小余能原理出發(fā)，可以得到廣義余能原理的泛函。換言之，胡海昌的廣義變分原理，可以用錢偉長(zhǎng)的拉格朗日乘子法，從古典的變分原理推出。此項(xiàng)研究，錢偉長(zhǎng)獲得了國(guó)家自然科學(xué)二等獎(jiǎng)，時(shí)年七十。此項(xiàng)研究成果導(dǎo)致彈性力學(xué)變分原理一章改變寫法^[14]。

錢偉長(zhǎng)說：“哥廷根學(xué)派是應(yīng)用數(shù)學(xué)的創(chuàng)導(dǎo)者，他們都有很深的數(shù)學(xué)功底，有更好的對(duì)物理過程的理解，都強(qiáng)調(diào)對(duì)物理過程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)是主要的，但在數(shù)學(xué)的使用上，從不吝惜使用，力求其用在刀口上，用得漂亮，用得樸素簡(jiǎn)潔，為了解決一個(gè)實(shí)際問題不惜跳進(jìn)數(shù)學(xué)這個(gè)海洋來尋找最合適的工具，甚至于創(chuàng)造新的工具”^[8]。錢偉長(zhǎng)在前二項(xiàng)研究的成功是由于找到了最合適的數(shù)學(xué)工具，那么，他的第三項(xiàng)研究的成功是由于對(duì)拉格朗日乘子法作了創(chuàng)新的改造。

錢偉長(zhǎng)最值得學(xué)習(xí)的地方是他的獨(dú)辟蹊徑和刻意創(chuàng)新，最值得效法的是他身體力行的應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)巧妙結(jié)合的研究理念。
6？？？？？？ ？還原學(xué)習(xí)法
錢偉長(zhǎng)的三篇代表作足以讓我們從中窺視到他是怎樣學(xué)的，怎樣想的，怎樣選題的，怎樣研究的，怎樣在三、四十歲的時(shí)候就能脫穎而出。
怎樣從錢偉長(zhǎng)的三篇代表作中窺視到他是怎樣學(xué)的，怎樣想的，怎樣選題的，怎樣研究的。采用還原學(xué)習(xí)法，是一種較為有效的辦法。
在讀錢偉長(zhǎng)的論文時(shí)，退回到力學(xué)和數(shù)學(xué)在論文前的狀態(tài)，退回到錢偉長(zhǎng)在當(dāng)時(shí)的學(xué)歷和背景?？村X偉長(zhǎng)如何在力學(xué)的理論中提出需要?jiǎng)?chuàng)新發(fā)展的題目，如何在應(yīng)用數(shù)學(xué)中找到能用于解決選定的力學(xué)問題的方法，看錢偉長(zhǎng)如何發(fā)現(xiàn)應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)的結(jié)合點(diǎn)，看錢偉長(zhǎng)在應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)相結(jié)合的過程中如何克服困難的，看錢偉長(zhǎng)在整個(gè)研究過程中如何獨(dú)辟蹊徑、刻意創(chuàng)新的。
錢偉長(zhǎng)的三篇代表作值得我們反復(fù)鉆研，從中可以探究到如何跳到數(shù)學(xué)的海洋里找到合適的方法，從中也可以探究到如何跳到彈性力學(xué)的海洋里找到合適的題目，更為重要的是可以懂得如何獲得錢偉長(zhǎng)式的獨(dú)辟蹊徑的創(chuàng)新靈感。
特別值得注意的一點(diǎn)是錢偉長(zhǎng)開展的研究，無需國(guó)家的財(cái)力物力和人力的特別支持，這就特別適合于成功前的在校學(xué)生和青年教師效法的。錢偉長(zhǎng)無疑是對(duì)在校學(xué)生和青年教師最具吸引力的好榜樣。在當(dāng)前，杰出人才是國(guó)家的急需，一旦像錢偉長(zhǎng)一樣有了成功之作，就有可能像錢學(xué)森、郭永懷那樣，進(jìn)入到國(guó)家的重點(diǎn)工程或關(guān)鍵行業(yè)中去施展才華，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)、力學(xué)、和工程三結(jié)合的理想。

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Applied Mathematics and Mechanics-

W.Z. Chien’s Master Pieces

JI Xing

（School of Aerospace and Applied Mechanics, Tongji University，Shanghai, 200092）

Email: jixing@#edu.cn

Abstract: The methodology of “the research of mechanics combined with applied mathematics” emphasized by Wei-zang Chien is discussed. The connotation of “the research of mechanics combined with applied Mathematics”is illuminated with Chien’s master pieces. The intrinsic theory of elastic shells and plates, problems of large deflection in elastic circular thin plates, the application of Lagrange multiplier in generalized variational principles are Chien’s master pieces. These Chien’s master pieces illuminates that how Wei-zang Chien reached the creative results based on the methodology of “the research of mechanics combined with applied mathematics”.

Key words: Applied mathematics, Theory of elasticity, Research of mechanics combined with applied mathematics



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