應用數(shù)學和力學的結(jié)合－

錢偉長的代表作

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嵇？ 醒

（同濟大學？ 航空航天與力學學院, 上海200092）

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1？？？？？？ ？引言
錢偉長^[1-3]始終把提升和發(fā)展中國力學放在心上。年過七旬，他創(chuàng)辦了《應用數(shù)學和力學學報》之后，又創(chuàng)立了應用數(shù)學和力學研究所。值得注意的是他把學報和研究所都定名為《應用數(shù)學和力學》。
錢偉長曾講過為什么要起名為應用數(shù)學和力學研究所？他說：“就是要推動數(shù)學與力學繼續(xù)結(jié)緣，以先進的數(shù)學工具來研究力學，以力學的進展來推動現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展”。這是錢偉長一生的力學實踐所換來的箴言。
錢偉長講的《應用數(shù)學和力學》是指通過應用數(shù)學和力學的巧妙結(jié)合以達到應用力學的創(chuàng)新發(fā)展。應用數(shù)學和力學的結(jié)合是錢偉長創(chuàng)新研究的精微所在，這是錢偉長應用力學創(chuàng)新思想的核心。
向錢偉長學習，就是要學習錢偉長的《應用數(shù)學和力學相結(jié)合》的研究理念。要學習錢偉長的《應用數(shù)學和力學相結(jié)合》的研究理念，必須首先懂得錢偉長的《應用數(shù)學和力學相結(jié)合》提法的深刻內(nèi)涵。本文以錢偉長的代表作來探索《應用數(shù)學和力學相結(jié)合》的深刻內(nèi)涵，領略錢偉長學術創(chuàng)新的源頭，從而提升力學研究的創(chuàng)新能力。
2？？？？？？ 哥廷根應用力學學派的成功之道
哥廷根應用力學學派^[4]出現(xiàn)在20世紀初的德國，20世紀30年代在美國廣為傳播，并進一步發(fā)揚。20世紀是航空航天事業(yè)突飛猛進的時期，哥廷根學派作出了歷史性的貢獻^[5]，促成了飛機超過音速，人類征服宇宙。哥廷根應用力學學派在應用數(shù)學解決不了復雜工程的需要時，創(chuàng)造性地走出了一條從工程中提煉力學問題，根據(jù)對力學問題的本質(zhì)認識，建立盡可能近似、盡可能簡化的數(shù)學模型，再用數(shù)學方法去求解。于是，應用力學發(fā)展迅速，而哥廷根學派則人才輩出，引領航空航天和其它工程技術的日新月異的進展。哥廷根應用力學學派走的是數(shù)學、力學、工程相結(jié)合的成功之道。




國家自然科學基金項目（10672122）資助.
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仔細追蹤哥廷根應用力學學派的成功之道，不難發(fā)現(xiàn)他們的成功之道和彈性力學的建立和發(fā)展的軌跡有著一脈相承的淵源。哥廷根應用力學學派強調(diào)工程問題的近似的簡化建模，可看成是允許彈性力學半逆解法有較小誤差的靈活應用，哥廷根應用力學學派重視應用數(shù)學和力學的巧妙結(jié)合則是彈性力學發(fā)展數(shù)學解析解法的延伸^[6-7]。由此可見，要學習，研究，繼承哥廷根應用力學學派的優(yōu)良傳統(tǒng)，除了要鉆研這個學派的研究成果外，在學習彈性力學的時候，關注半逆解法，關注解析解法，可以為今后走向哥廷根應用力學學派的應用數(shù)學、力學和工程相結(jié)合的研究理念，打下堅實的基礎。
1940年，錢偉長在多倫多大學師從應用力學學派的應用數(shù)學家J.L. Synge教授，以后又在加州理工大學von Karman 教授處做博士后，對應用數(shù)學和力學的結(jié)合，獲得了深刻的體會，為他畢生從事彈性力學研究，打下了堅實的基礎。
錢偉長在力學中的杰出貢獻，呈現(xiàn)出他對哥廷根應用力學學派有獨特的感悟^[8-10]。應用數(shù)學和力學的巧妙結(jié)合是錢偉長創(chuàng)新研究的精微所在，這是錢偉長應用力學創(chuàng)新思想的核心，是他盡力提倡的。錢偉長創(chuàng)新研究的特點是在應用數(shù)學和力學的巧妙結(jié)合中獨辟蹊徑，取得意想不到的結(jié)果。所以，有必要來看一下，錢偉長是怎樣做的。
彈性板殼內(nèi)稟理論^[11]，彈性圓薄板大撓度問題的攝動解法^[12]，拉格朗日乘子法在變分原理中的應用^[13],是錢偉長的三項里程碑式的代表作，無一不是應用數(shù)學和力學的巧妙結(jié)合的佳作，無一不顯示錢偉長獨辟蹊徑和刻意創(chuàng)新的特點。錢偉長獨辟蹊徑的特點體現(xiàn)在他在力學中選有特別意義的理論創(chuàng)新題目、在數(shù)學中選潛在的方法、和務必達到二者結(jié)合上的創(chuàng)新和結(jié)果上的創(chuàng)新。錢偉長的刻意創(chuàng)新的特點是注重獨創(chuàng)性。他的論文堪稱經(jīng)典，影響久遠。
3？？？？？？ 彈性板殼內(nèi)稟理論？？？？？？

彈性薄板和彈性薄殼理論建立之后的數(shù)十年間，沒有人對板殼理論的基本方程與三維彈性力學的基本方程的關系研究過。錢偉長在多倫多大學師從 J.L. Synge教授，以此問題作為他研究彈性力學的博士論文題目。彈性薄板和彈性薄殼方程的推導歷來采用直法線假設，而錢偉長從三維彈性力學出發(fā)，采用中面上的拖帶座標系，把張量分析和微分幾何作為數(shù)學工具，這是史無前例的。由這種數(shù)學工具與力學問題的結(jié)合，嚴格地從三維彈性力學方程導出了用板殼中面的拉伸應變和曲率變化6個分量表示的全部方程，適用于任意形狀的殼體，把大變形的非線性也包括在內(nèi)。再把應力和應變分量按厚度方向的坐標展開為泰勒級數(shù)，按中面拉伸張量、中面彎曲張量，以及中面曲率張量三者與板殼厚度的相對量級來進行板殼問題進行分類和近似，得到了12類薄板和35類薄殼的近似方程，把所有可能的簡化都囊括其中。論文發(fā)表，使得錢偉長在美國脫穎而出，時年三十。

4？ 彈性圓薄板大撓度問題的攝動解法
彈性薄板大撓度非線性方程在1910年，由von Karman建立。Karman方程是一組耦合的非線性偏微分方程，數(shù)學中沒有針對性的求解方法，薄板結(jié)構卻迫切需要有效的解法。在von Karman的門下做博士后的時候，錢偉長著手解決這個問題。此前，J.J. Vincent 以攝動法求解圓薄板問題，采用載荷作為攝動參數(shù)，結(jié)果不理想。S. Way放棄攝動法，改用冪級數(shù)解法，結(jié)果也不理想。錢偉長需要在茫茫的應用數(shù)學的海洋里尋找出路，他銳敏地看到冪級數(shù)解法不適合于非線性微分方程，應予以放棄。攝動法對非線性微分方程是適用的，但是以載荷作為攝動參數(shù)不適合于薄板大撓度問題，錢偉長把攝動參數(shù)改為中心點的撓度和板厚之比，馬上獲得了滿意的結(jié)果，與實驗所得的結(jié)果非常符合。此項研究成果于1956年，獲得了國家自然科學二等獎，時年四十三。
5？ 拉格朗日乘子法在變分原理中的應用
1954年，胡海昌提出廣義變分原理的方法與彈性力學中提出最小位能原理和最小余能原理是一樣的。即首先要構造一個變分原理的泛函，通過變分推導得到和彈性力學方程及邊界條件等同的歐拉方程。由于變分法中沒有從歐拉方程反推泛函的辦法，廣義變分原理的泛函也只能用試湊法得到。這已經(jīng)成為彈性力學中建立變分原理的定則。錢偉長卻不甘心于此，他從變分法中，找到了拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法的原意是放松李茲法對試函數(shù)的選取，不要求預先滿足約束條件，其做法是把這些約束條件乘上拉氏乘子，計入變分原理的泛函中，然后對試函數(shù)中的未知系數(shù)和拉氏乘子看作獨立變量進行變分，并確定這些未知常數(shù)。由此可見，拉格朗日乘子法不是用來構造新的泛函的?？墒牵X偉長卻有了獨到的見解，對拉格朗日乘子法開創(chuàng)了一種全新的用法。他的做法是把最小位能原理的約束條件乘上拉氏乘子計入最小位能原理的泛函中，把這些待定的拉氏乘子和原來的變量都看作是獨立變量而進行變分，從有關泛函的駐值條件就可以求得這些拉氏乘子用原有物理變量表示的表達式。把這些表達式代入待定的拉氏乘子中，就得到廣義位能原理的泛函。同理，從最小余能原理出發(fā)，可以得到廣義余能原理的泛函。換言之，胡海昌的廣義變分原理，可以用錢偉長的拉格朗日乘子法，從古典的變分原理推出。此項研究，錢偉長獲得了國家自然科學二等獎，時年七十。此項研究成果導致彈性力學變分原理一章改變寫法^[14]。

錢偉長說：“哥廷根學派是應用數(shù)學的創(chuàng)導者，他們都有很深的數(shù)學功底，有更好的對物理過程的理解，都強調(diào)對物理過程的本質(zhì)認識是主要的，但在數(shù)學的使用上，從不吝惜使用，力求其用在刀口上，用得漂亮，用得樸素簡潔，為了解決一個實際問題不惜跳進數(shù)學這個海洋來尋找最合適的工具，甚至于創(chuàng)造新的工具”^[8]。錢偉長在前二項研究的成功是由于找到了最合適的數(shù)學工具，那么，他的第三項研究的成功是由于對拉格朗日乘子法作了創(chuàng)新的改造。

錢偉長最值得學習的地方是他的獨辟蹊徑和刻意創(chuàng)新，最值得效法的是他身體力行的應用數(shù)學和力學巧妙結(jié)合的研究理念。
6？？？？？？ ？還原學習法
錢偉長的三篇代表作足以讓我們從中窺視到他是怎樣學的，怎樣想的，怎樣選題的，怎樣研究的，怎樣在三、四十歲的時候就能脫穎而出。
怎樣從錢偉長的三篇代表作中窺視到他是怎樣學的，怎樣想的，怎樣選題的，怎樣研究的。采用還原學習法，是一種較為有效的辦法。
在讀錢偉長的論文時，退回到力學和數(shù)學在論文前的狀態(tài)，退回到錢偉長在當時的學歷和背景?？村X偉長如何在力學的理論中提出需要創(chuàng)新發(fā)展的題目，如何在應用數(shù)學中找到能用于解決選定的力學問題的方法，看錢偉長如何發(fā)現(xiàn)應用數(shù)學和力學的結(jié)合點，看錢偉長在應用數(shù)學和力學相結(jié)合的過程中如何克服困難的，看錢偉長在整個研究過程中如何獨辟蹊徑、刻意創(chuàng)新的。
錢偉長的三篇代表作值得我們反復鉆研，從中可以探究到如何跳到數(shù)學的海洋里找到合適的方法，從中也可以探究到如何跳到彈性力學的海洋里找到合適的題目，更為重要的是可以懂得如何獲得錢偉長式的獨辟蹊徑的創(chuàng)新靈感。
特別值得注意的一點是錢偉長開展的研究，無需國家的財力物力和人力的特別支持，這就特別適合于成功前的在校學生和青年教師效法的。錢偉長無疑是對在校學生和青年教師最具吸引力的好榜樣。在當前，杰出人才是國家的急需，一旦像錢偉長一樣有了成功之作，就有可能像錢學森、郭永懷那樣，進入到國家的重點工程或關鍵行業(yè)中去施展才華，實現(xiàn)數(shù)學、力學、和工程三結(jié)合的理想。

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14 ？陸明萬，羅學富，彈性理論基礎，清華大學出版社，1990

Applied Mathematics and Mechanics-

W.Z. Chien’s Master Pieces

JI Xing

（School of Aerospace and Applied Mechanics, Tongji University，Shanghai, 200092）

Email: jixing@#edu.cn

Abstract: The methodology of “the research of mechanics combined with applied mathematics” emphasized by Wei-zang Chien is discussed. The connotation of “the research of mechanics combined with applied Mathematics”is illuminated with Chien’s master pieces. The intrinsic theory of elastic shells and plates, problems of large deflection in elastic circular thin plates, the application of Lagrange multiplier in generalized variational principles are Chien’s master pieces. These Chien’s master pieces illuminates that how Wei-zang Chien reached the creative results based on the methodology of “the research of mechanics combined with applied mathematics”.

Key words: Applied mathematics, Theory of elasticity, Research of mechanics combined with applied mathematics



References
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