竹排、大黃鴨與船舶穩(wěn)定性

劉延柱1)

（上海交通大學(xué)工程力學(xué)系？ 上海？ 200240）

小小竹排在幽靜的水面上飄浮。站立在竹排上撐篙的梢工重心高高在上，如同一只倒立的復(fù)擺。微風(fēng)吹過，竹排微微晃動(dòng)卻能穩(wěn)定不倒（圖1）。 一般情況下，船舶的設(shè)計(jì)必須保證下水后的船體浮心高于重心。當(dāng)船體向一側(cè)傾斜時(shí)，浮力與重力構(gòu)成與傾斜方向相逆的力偶使船體恢復(fù)原位。但在實(shí)際生活中，重心高于浮心的物體浮在水面上穩(wěn)定不倒的現(xiàn)象十分常見。例如上面提到的竹排和類似竹排的皮艇和劃艇（圖2）。曾周游世界的著名大黃鴨是另一個(gè)例子（圖3）。這個(gè)數(shù)層樓高的龐然大物平靜地躺在湖面上，與竹排比較，雖然重心比浮心更高卻比竹排更加穩(wěn)定。

　　

圖1 竹排

　　　　　　　　　　

圖2 劃艇

 

圖3 大黃鴨

這類船舶或浮體的特點(diǎn)是與水的接觸面積很大，吃水深度很小。當(dāng)浮體傾斜時(shí)，傾斜一側(cè)的浸沒范圍增大，另一側(cè)的浸沒范圍減小。一側(cè)增大一側(cè)減小的浮力形成附加力偶推動(dòng)浮體恢復(fù)原位。以來過中國的大黃鴨為例，這個(gè)巨大浮體的尺寸為 ，體積估計(jì)在 左右。充滿空氣的重量，加上橡皮膜和鼓風(fēng)機(jī)的重量超過3噸。與水接觸的底面積約為 。大致估算，僅 的浸沒深度所產(chǎn)生的浮力已足夠與3噸重力抗衡。雖然重心比浮心高了許多，但只要傾斜引起浮力的恢復(fù)力矩大于重力的傾覆力矩，大黃鴨就能穩(wěn)定不倒。 為了更深入了解上述現(xiàn)象，將竹排簡化成寬度 ，厚度 ，長度 的均質(zhì)矩形薄板，設(shè)竹排包括承載的梢工和貨物的總重量為 ，水的比重為 ，浸沒深度為 。無傾斜時(shí)竹排的浮力為 ，令其與 相等，導(dǎo)出的 必須小于竹排的厚度 才能避免下沉。設(shè)竹排與負(fù)載的總重量為 ，寬度 ，長度 ，水的比重 ，算出 ，竹排的厚度不得低于此下限。 以重心 為原點(diǎn)，建立竹排的連體坐標(biāo)系 ， 和 沿縱向和側(cè)向， 垂直竹排平面。無傾斜時(shí)竹排在水中浸沒體積的幾何中心為浮心 ，設(shè)重心 高于浮心 ，距 點(diǎn)的高度為 。當(dāng)竹排繞 軸向一側(cè)傾斜 角時(shí)，由于傾斜一側(cè)的浸沒體積增大，浮力產(chǎn)生增量 ，另一側(cè)產(chǎn)生相等的負(fù)增量。兩側(cè)浮力增量的作用點(diǎn)距離為 ，構(gòu)成與轉(zhuǎn)動(dòng)方向相逆的力偶 ，成為抗衡重力傾覆力矩 的恢復(fù)力矩（圖4）。忽略水的阻尼力矩，設(shè)竹排相對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，列出竹排繞 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程
竹排的穩(wěn)定性，即特解 的穩(wěn)定性要求 前的系數(shù)為正值[1]，導(dǎo)出竹排的穩(wěn)定性條件
如 為負(fù)值，則任何情況下此穩(wěn)定性條件都能滿足，表明浮心高于重心的船體必能自行穩(wěn)定。而重心高于浮心時(shí)，僅當(dāng)船體與水接觸面積的尺度 和 足夠大時(shí)才可能滿足。以竹排為例，將 和重心高度 代入條件，結(jié)果表明僅當(dāng)竹排長度 時(shí)方能保證穩(wěn)定。再以大黃鴨為例，令 ， ， ， ，算出 ，遠(yuǎn)大于 ，穩(wěn)定性條件自然滿足。 由此可見，重心高于浮心的竹排并非倒擺。如仍將竹排比喻成復(fù)擺，則復(fù)擺的支點(diǎn)并非浮心 。真正的復(fù)擺支點(diǎn)應(yīng)該是浮力合力的作用線與 軸的交點(diǎn)。船體正位時(shí) 軸與垂直向上的浮力作用線一致。船體傾斜時(shí)， 軸也隨同傾斜，浮心 朝傾斜方向移至 ，浮力作用線隨之平移，與 軸的交點(diǎn) 就是看不見的復(fù)擺支點(diǎn)（圖4）。在船舶穩(wěn)定性理論中， 稱為船的穩(wěn)心。穩(wěn)心 至重心 的距離 稱為穩(wěn)心高度。穩(wěn)心高于重心時(shí) 為正值，船舶穩(wěn)定；穩(wěn)心低于重心時(shí) 為負(fù)值，船舶不穩(wěn)定。穩(wěn)心高度 愈大，船體的穩(wěn)定性就愈好[2]。在圖4中，船體正位時(shí)的矩形浸沒范圍在傾斜 角后變成梯形。二者的面積相等，浮力的大小不變但作用線的位置不同。設(shè)傾斜時(shí)竹排浮心對(duì) 點(diǎn)的偏移，即浮力的力臂為 。 角為小量時(shí)，將力偶 與浮力 相除，估算出
從中推斷穩(wěn)心 與 點(diǎn)的距離為 。穩(wěn)心 與重心 的距離，即穩(wěn)心高度為 （圖4）。利用上述數(shù)據(jù)算出竹排的穩(wěn)心高度約為 。而大黃鴨的穩(wěn)心高度竟高達(dá) 以上。于是竹排與大黃鴨在穩(wěn)定程度上的懸殊差異就有了定量的依據(jù)。

 

圖4 穩(wěn)心與浮心

以上分析表明，高重心的船體傾斜時(shí)，由于兩側(cè)浸沒范圍的變化使浮力的作用線向傾斜方向偏移，形成恢復(fù)力矩使船體繞穩(wěn)心轉(zhuǎn)動(dòng)回至原位。不久前曾發(fā)生韓國“歲月”號(hào)客輪的沉船事件。據(jù)分析，沉沒的原因是客輪快速轉(zhuǎn)向產(chǎn)生的慣性力使艙內(nèi)貨物向傾斜方向移位造成的船體失衡。應(yīng)用穩(wěn)心概念分析，當(dāng)船舶因風(fēng)浪向一側(cè)傾斜時(shí)，只要穩(wěn)心 高于船的重心 ，浮力就能使船復(fù)位。但如果貨物突然移位使重心也向傾斜方向移至 ， 軸隨之平移至 軸，與浮力作用線的交點(diǎn) 突然下降。當(dāng)穩(wěn)心 下降至重心 以下時(shí)，恢復(fù)力矩變?yōu)閮A覆力矩，船體即傾覆下沉（圖5）。 由此可見，穩(wěn)心高度是判斷船舶穩(wěn)定性的重要定量指標(biāo)。集裝箱船舶在裝滿貨物時(shí)很難做到重心低于浮心。但憑借正確的船型設(shè)計(jì)，能使穩(wěn)心高度滿足規(guī)范要求以保證船舶航行的穩(wěn)定性。  

圖5 重心移動(dòng)產(chǎn)生的穩(wěn)心變化

參考文獻(xiàn) [1] 劉延柱. 高等動(dòng)力學(xué). 北京：高等教育出版社，2001 [2] 彭如海. 船舶工程中的力學(xué)問題. 力學(xué)與實(shí)踐，2003, 25(5): 4-10
Bamboo Raft, Rubber Duck and Stability of Ships LIU Yanzhu (Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)