投稿至：《力學(xué)與實(shí)踐》雜志“力學(xué)縱橫”欄目

 

試析伽利略的力學(xué)研究之比例縮放思想¹⁾

——從“地獄”的演講到《兩門(mén)新科學(xué)》

 

楊 光²⁾ 陳凱鋒 呂增建³⁾

（焦作大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)系，焦作？ 454000）

 

摘要： 1588年伽利略在佛羅倫薩學(xué)院做了兩場(chǎng)學(xué)術(shù)演講，這些演講主要是關(guān)于《神曲》中煉獄圖形的構(gòu)想。從中可以看出伽利略在當(dāng)時(shí)就已經(jīng)意識(shí)到自然不是比例縮放不變的，而且在隨后的兵工廠建設(shè)項(xiàng)目、《水中浮體》著作以及給友人的信件中伽利略都有關(guān)于比例縮放問(wèn)題的想法和應(yīng)用實(shí)例。這引導(dǎo)著他在后續(xù)的工作中逐漸形成了比例縮放的思想，并在力學(xué)名著《兩門(mén)新科學(xué)》這本著作中最終呈現(xiàn)出來(lái)。
關(guān)鍵詞：伽利略？ 比例縮放思想？ 比例縮放不變性？ 兩門(mén)新科學(xué)
中圖分類(lèi)號(hào)：O4-09 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：文章編號(hào)：

Analysis scaling   ideas of Galileo in the mechanics

——From the speech？of “Hell” to？Two New Sciences

 Yang Guang Chen Kaifeng  Lv Zengjian

Abstract: Galileo made two lectures at the Florence academy in 1588, the lectures mainly talked about？？the purgatory graphic of The Divine Comedy. From it, we can find that Galileo？had realized that nature was notchanged by scaling？invariant. Galileo？had ideas and applications about th scalingproblemwith the following Arsenal？construction project,？the works of The floating bodyin water and the letter tfriends. This？led him to？form a？scaling？ideas？gradually in the following works, and, eventually,showed it in Twonew science of the？mechanical？masterpiece.

Key words: Galileo？ Scaling？theory？？ Scaling？invariance？ Two New Sciences
？
1引言
伽利略1632年出版的《關(guān)于托勒密和哥白尼兩大世界體系的對(duì)話》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為《對(duì)話》）在科學(xué)史上影響甚大。然而，從純科學(xué)的觀點(diǎn)來(lái)看，真正樹(shù)立他在科學(xué)史豐碑的是他的另一篇科學(xué)杰作《關(guān)于兩門(mén)新科學(xué)的對(duì)話和數(shù)學(xué)證明的對(duì)話集》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)為《兩門(mén)新科學(xué)》）^[1]，這是他最成熟的科學(xué)思想和研究成果。在書(shū)中，開(kāi)篇以威尼斯兵工廠的一個(gè)實(shí)際建設(shè)項(xiàng)目（造船）為例，展開(kāi)了比例縮放問(wèn)題的討論。因而有人認(rèn)為：伽利略關(guān)于比例縮放的想法就是形成于此。細(xì)讀《兩門(mén)新科學(xué)》的話，從中不難發(fā)現(xiàn)：其實(shí)，伽利略在很早就已經(jīng)有了一些關(guān)于比例縮放問(wèn)題的思考。比如在伽利略早期的兩篇被忽視的演講報(bào)告中，關(guān)于但丁對(duì)于地獄的形狀、位置和大小的描述，就是一個(gè)很好的佐證。本文從《兩門(mén)新科學(xué)》追溯到伽利略早期的一次關(guān)于“地獄”的演講，來(lái)嘗試展現(xiàn)其比例縮放思想的形成。
2 伽利略的比例縮放思想
2.1《兩門(mén)新科學(xué)》中的比例縮放不變性

伽利略的比例縮放思想是在解決物理學(xué)的實(shí)際問(wèn)題中而產(chǎn)生的。伽利略在《兩門(mén)新科學(xué)》中指出：“小的固體比大固體其表面積大?！?sup>[2]也就是說(shuō)，如果讓一個(gè)宏觀物體按比例縮小的話，物體體積比其表面積減小得快。因?yàn)槊娣e是線度的平方，體積是線度的立方，所以體積減小得比表面積快。又因?yàn)橹亓颗c體積是按相同的比例變小，所以重量也比表面積減小得快。如果要從動(dòng)力學(xué)上來(lái)分析的話，由于物體表面上存在的粗糙度和多孔性，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些粗糙的地方和空氣作用形成粘滯阻力，而面積因比體積減小得慢，其與表面積有關(guān)的粘滯阻力就不如與體積有關(guān)的重力減小的快，所以粘滯阻力與重力減少的比率不同。伽利略將這樣的想法寫(xiě)進(jìn)了《兩門(mén)新科學(xué)》這本書(shū)中，并用其來(lái)分析自由落體的受力問(wèn)題^[2]。

伽利略在《兩門(mén)新科學(xué)》中斷言，按比例放大的大船有在自重作用下船斷裂的危險(xiǎn)，但小型船只卻沒(méi)有^[3]。伽利略與他人不同，他在保留必不可少的物理的“幾何”性質(zhì)的同時(shí)，在其上添加了材料屬性。這與伽利略在《對(duì)話》中所用到的數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)想結(jié)合的方法如出一轍。伽利略敢于向傳統(tǒng)的思想挑戰(zhàn)，不是先臆測(cè)事物發(fā)生的原因，而是先觀察自然現(xiàn)象，由此發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律，以及數(shù)學(xué)與物理屬性間的內(nèi)在聯(lián)系。書(shū)中的不少例子就在解釋此方面的內(nèi)容。比如,伽利略的非常著名的觀察：為什么動(dòng)物不能簡(jiǎn)單地成比例的變大，那是因?yàn)楫?dāng)他們變的更大時(shí)，他們的骨頭也必須成比例變得更重。伽利略在《兩門(mén)新科學(xué)》中曾提出，動(dòng)物形體尺寸變大時(shí)，軀體的強(qiáng)度并不按比例變大。他說(shuō)：“一只小狗也許能夠在它背上攜帶和它一樣大的兩或三只小狗，但是我相信一匹馬甚至馱不起和它大小一樣的一匹馬。”^[4]

2.2追溯伽利略比例縮放思想的形成過(guò)程

早在1612年伽利略就應(yīng)該是有關(guān)于比例縮放的想法了，因?yàn)榇藭r(shí)伽利略已經(jīng)出版了《水中浮體》這本著作。伽利略處理的最棘手的問(wèn)題是一個(gè)比水密度大的薄板材料卻浮在了水面上。在《水中浮體》中，伽利略提出了這樣的觀點(diǎn)“一個(gè)厚度一定的正方形薄板如果被分割成許多小正方形后，它的重量和體積隨著尺寸的減少而成相應(yīng)比例的減少，但比面積隨尺寸的減少而減少得要快。而浮力的大小取決于面積的大小，所以相對(duì)而言，每一小塊所受到的浮力顯現(xiàn)得更大了”。伽利略提出這個(gè)觀點(diǎn)純粹是假設(shè)，很顯然，正如我們現(xiàn)在所知道的：等厚的薄板被分割成許多小塊時(shí)，其總浮力并不會(huì)增加，增加的是表面張力。因?yàn)楸砻鎻埩κ呛桶迮c液體的接觸線的長(zhǎng)度有關(guān)的。被分為小塊以后，接觸線的總長(zhǎng)度增加了，所以總的表面張力也相應(yīng)增加了。這里，我們并不是想討論伽利略說(shuō)法的正確性，而是想證明伽利略早在1612年對(duì)比例縮放問(wèn)題已經(jīng)有了具體應(yīng)用的實(shí)例。

伽利略于1609年在給Antonio de’Medici的一封信里，卻有一個(gè)更早的不是很明確的引用^[5]。這封信實(shí)際上應(yīng)該是《兩門(mén)新科學(xué)》的提綱。在信中伽利略寫(xiě)出了他最新的關(guān)于比例縮放方面的調(diào)查^[6]，這表明：早在1609年，在他的腦海里就已經(jīng)形成了《兩門(mén)新科學(xué)》的基本構(gòu)架。如果我們從時(shí)間上來(lái)看的話，比例縮放思想在《兩門(mén)新科學(xué)》出版前二十多年就已經(jīng)有了相應(yīng)的雛形了。

1592年伽利略受聘為兵工廠船舶設(shè)計(jì)的咨詢師時(shí)就曾說(shuō)：“有可能會(huì)在什么地方遇到比例問(wèn)題?！边@可能是早在1592年就出現(xiàn)比例縮放思想的地方。從《兩門(mén)新科學(xué)》中還可以看到，雖然在造船廠Sagredo對(duì)于比例縮放不變性的失敗是驚訝的，但Salviati（在書(shū)中代表伽利略）卻不是很驚訝。他已經(jīng)明白，并立即準(zhǔn)備解釋這一切給Sagredo。Salviati的這番表達(dá)就是伽利略的思想，因?yàn)橘だ员救丝赡茉缫延辛艘恍┹^為成熟的比例縮放問(wèn)題的思考。這意味著我們必須從歷史上再往前去尋找比例縮放思想形成的時(shí)間，比如在伽利略的青年時(shí)代。

2.3關(guān)于但丁“地獄”的演講

青年時(shí)期的伽利略曾把他包含比例縮放思想的數(shù)學(xué)證明送到一些意大利數(shù)學(xué)家手里，希望得到一些肯定。他幸運(yùn)的得到托斯卡納大公御用巡視員Guidobaldo del Monte的幫助^[7]。當(dāng)比薩大學(xué)的首席數(shù)學(xué)教授對(duì)外公開(kāi)招聘時(shí)，時(shí)任紅衣主教的Guidobaldo del Monte安排伽利略于1588年去佛羅倫薩學(xué)院做了兩場(chǎng)數(shù)學(xué)方面的演講^[8]。

在演講中，他出色地將數(shù)學(xué)與聽(tīng)眾喜歡聽(tīng)的但丁的“地獄”模型結(jié)合了起來(lái)。伽利略說(shuō):“地獄不可能那么大，覆蓋地獄的拱頂似乎不可能支持自身而不落下，假如地獄如此之高，那么拱頂必須非常薄。……如果連同海的深度是100英里的話，那么拱頂就需要非常厚，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)支撐自重的需要?！辟だ栽谠噲D描述一個(gè)地獄的模型，以約每100英里1布拉喬奧(古意大利的長(zhǎng)度單位，相當(dāng)于66或68厘米)厚的比例挖出一個(gè)空室為模型。一個(gè)正常的人的高度是3布拉喬奧，所以該模型顯示一個(gè)大的穹頂，有點(diǎn)小于佛羅倫薩大教堂著名的布魯內(nèi)萊斯基穹頂。就像伽利略所說(shuō)，不到4布拉喬奧的厚度完美的支撐了自重。這是一個(gè)令人信服的參數(shù)，但只是在認(rèn)為尺度不變的前提下才成立!如果按比例將其放大100000倍，仍然成立嗎? 絕對(duì)不是!這個(gè)升級(jí)版的模型實(shí)際上是脆弱的，受更多因素影響，會(huì)立即被自重壓垮的。
據(jù)現(xiàn)有可查的歷史資料中，這是最早出現(xiàn)伽利略比例縮放思想的事情。由此看出：早在1588年（甚至有可能更早），伽利略就應(yīng)該已經(jīng)有了比例縮放思想的簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)了，并用此做為有效的防守反擊武器來(lái)成功地贏得了辯論。

3 結(jié)論

從伽利略在佛羅倫薩學(xué)院的演講到威尼斯兵工廠的實(shí)踐，再到《兩門(mén)新科學(xué)》的出版，可以看出：伽利略認(rèn)為自然不是比例縮放不變的，這是在充分考慮數(shù)學(xué)內(nèi)容和物理內(nèi)容的基礎(chǔ)上得出的結(jié)論。伽利略在比例縮放問(wèn)題上倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的方法，與他在《對(duì)話》中所提到的數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法相類(lèi)似。這是他在科學(xué)上取得偉大成就的源泉，也是他對(duì)近代科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)^[9]。

伽利略為什么遲遲不肯發(fā)表他的比例縮放思想的有關(guān)想法呢？這應(yīng)該是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，原因可能很多，其較為突出的原因之一是：在充滿辯論的文藝復(fù)興時(shí)代的歷史背景下，伽利略可能采取了“留一手”的策略。即對(duì)一個(gè)重要的理論成果保守秘密，直到需要它在辯論中進(jìn)行防守和自衛(wèi)。在有關(guān)浮體和地獄的辯論中，我們都可以看到伽利略的這種做法。另外，中年時(shí)期的伽利略可以說(shuō)是一位公眾人物，他頻繁接觸上流社會(huì)，社交活動(dòng)頗多，他還進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn)，進(jìn)行天文研究等等，他有太多的事情要做。我們推斷比例縮放思想當(dāng)時(shí)并沒(méi)有受到他本人的重視，只是晚年受到宗教審判后，在有充分的時(shí)間進(jìn)行一生學(xué)術(shù)總結(jié)的情況下，才將比例縮放的內(nèi)容寫(xiě)進(jìn)了《兩門(mén)新科學(xué)》中。從書(shū)的內(nèi)容中也可以看出，伽利略對(duì)比例縮放內(nèi)容的不重視。因?yàn)槿珪?shū)從沒(méi)有將比例縮放的內(nèi)容作為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的命題進(jìn)行闡述，只是在其他命題的證明和解釋中，或多或少的提及比例縮放的內(nèi)容。從伽利略對(duì)比例縮放思想的態(tài)度和其比例縮放思想形成過(guò)程的研究來(lái)看，我們應(yīng)該從中得到啟發(fā)，特別是在高端研究領(lǐng)域，要及時(shí)對(duì)自己的學(xué)術(shù)成果和思想進(jìn)行歸納和總結(jié)，以展現(xiàn)科學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)的價(jià)值。

《兩門(mén)新科學(xué)》介紹了在當(dāng)時(shí)屬于前沿的量綱分析的內(nèi)容，這其實(shí)就是伽利略關(guān)于比例縮放想法的表達(dá)，而這些都來(lái)自于基本的物理學(xué)思想，目的是為了解決相關(guān)的物理問(wèn)題。在書(shū)中，他系統(tǒng)地利用了他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)去解決物理問(wèn)題和論證新的物理定律，從而打開(kāi)了通向現(xiàn)代精密科學(xué)的大門(mén)^[10]。眾所周知，重整化群理論就是在粒子物理研究中為克服微擾發(fā)散困難而進(jìn)行標(biāo)度變換,從而得到群不變性的一種理論^[11]。所以通過(guò)對(duì)伽利略比例縮放思想的研究，我們可以認(rèn)為伽利略就是標(biāo)定度（或說(shuō)是比例縮放）這一領(lǐng)域的先驅(qū)。

 

參考文獻(xiàn)

 

[1]呂增建，科學(xué)史與科學(xué)文化[M].天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，2013.3. p. 59.