試析伽利略的力學(xué)研究之比例縮放思想1)
——從“地獄”的演講到《兩門(mén)新科學(xué)》
楊 光2) 陳凱鋒 呂增建3)
(焦作大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)系,焦作? 454000)
摘要: 1588年伽利略在佛羅倫薩學(xué)院做了兩場(chǎng)學(xué)術(shù)演講,這些演講主要是關(guān)于《神曲》中煉獄圖形的構(gòu)想。從中可以看出伽利略在當(dāng)時(shí)就已經(jīng)意識(shí)到自然不是比例縮放不變的,而且在隨后的兵工廠建設(shè)項(xiàng)目、《水中浮體》著作以及給友人的信件中伽利略都有關(guān)于比例縮放問(wèn)題的想法和應(yīng)用實(shí)例。這引導(dǎo)著他在后續(xù)的工作中逐漸形成了比例縮放的思想,并在力學(xué)名著《兩門(mén)新科學(xué)》這本著作中最終呈現(xiàn)出來(lái)。
Analysis scaling ideas of Galileo in the mechanics
——From the speech?of “Hell” to?Two New Sciences
Yang Guang Chen Kaifeng Lv Zengjian
伽利略的比例縮放思想是在解決物理學(xué)的實(shí)際問(wèn)題中而產(chǎn)生的。伽利略在《兩門(mén)新科學(xué)》中指出:“小的固體比大固體其表面積大?!?sup>[2]也就是說(shuō),如果讓一個(gè)宏觀物體按比例縮小的話,物體體積比其表面積減小得快。因?yàn)槊娣e是線度的平方,體積是線度的立方,所以體積減小得比表面積快。又因?yàn)橹亓颗c體積是按相同的比例變小,所以重量也比表面積減小得快。如果要從動(dòng)力學(xué)上來(lái)分析的話,由于物體表面上存在的粗糙度和多孔性,當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí),這些粗糙的地方和空氣作用形成粘滯阻力,而面積因比體積減小得慢,其與表面積有關(guān)的粘滯阻力就不如與體積有關(guān)的重力減小的快,所以粘滯阻力與重力減少的比率不同。伽利略將這樣的想法寫(xiě)進(jìn)了《兩門(mén)新科學(xué)》這本書(shū)中,并用其來(lái)分析自由落體的受力問(wèn)題[2]。
伽利略在《兩門(mén)新科學(xué)》中斷言,按比例放大的大船有在自重作用下船斷裂的危險(xiǎn),但小型船只卻沒(méi)有[3]。伽利略與他人不同,他在保留必不可少的物理的“幾何”性質(zhì)的同時(shí),在其上添加了材料屬性。這與伽利略在《對(duì)話》中所用到的數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)想結(jié)合的方法如出一轍。伽利略敢于向傳統(tǒng)的思想挑戰(zhàn),不是先臆測(cè)事物發(fā)生的原因,而是先觀察自然現(xiàn)象,由此發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律,以及數(shù)學(xué)與物理屬性間的內(nèi)在聯(lián)系。書(shū)中的不少例子就在解釋此方面的內(nèi)容。比如,伽利略的非常著名的觀察:為什么動(dòng)物不能簡(jiǎn)單地成比例的變大,那是因?yàn)楫?dāng)他們變的更大時(shí),他們的骨頭也必須成比例變得更重。伽利略在《兩門(mén)新科學(xué)》中曾提出,動(dòng)物形體尺寸變大時(shí),軀體的強(qiáng)度并不按比例變大。他說(shuō):“一只小狗也許能夠在它背上攜帶和它一樣大的兩或三只小狗,但是我相信一匹馬甚至馱不起和它大小一樣的一匹馬。”[4]
2.2追溯伽利略比例縮放思想的形成過(guò)程早在1612年伽利略就應(yīng)該是有關(guān)于比例縮放的想法了,因?yàn)榇藭r(shí)伽利略已經(jīng)出版了《水中浮體》這本著作。伽利略處理的最棘手的問(wèn)題是一個(gè)比水密度大的薄板材料卻浮在了水面上。在《水中浮體》中,伽利略提出了這樣的觀點(diǎn)“一個(gè)厚度一定的正方形薄板如果被分割成許多小正方形后,它的重量和體積隨著尺寸的減少而成相應(yīng)比例的減少,但比面積隨尺寸的減少而減少得要快。而浮力的大小取決于面積的大小,所以相對(duì)而言,每一小塊所受到的浮力顯現(xiàn)得更大了”。伽利略提出這個(gè)觀點(diǎn)純粹是假設(shè),很顯然,正如我們現(xiàn)在所知道的:等厚的薄板被分割成許多小塊時(shí),其總浮力并不會(huì)增加,增加的是表面張力。因?yàn)楸砻鎻埩κ呛桶迮c液體的接觸線的長(zhǎng)度有關(guān)的。被分為小塊以后,接觸線的總長(zhǎng)度增加了,所以總的表面張力也相應(yīng)增加了。這里,我們并不是想討論伽利略說(shuō)法的正確性,而是想證明伽利略早在1612年對(duì)比例縮放問(wèn)題已經(jīng)有了具體應(yīng)用的實(shí)例。
伽利略于1609年在給Antonio de’Medici的一封信里,卻有一個(gè)更早的不是很明確的引用[5]。這封信實(shí)際上應(yīng)該是《兩門(mén)新科學(xué)》的提綱。在信中伽利略寫(xiě)出了他最新的關(guān)于比例縮放方面的調(diào)查[6],這表明:早在1609年,在他的腦海里就已經(jīng)形成了《兩門(mén)新科學(xué)》的基本構(gòu)架。如果我們從時(shí)間上來(lái)看的話,比例縮放思想在《兩門(mén)新科學(xué)》出版前二十多年就已經(jīng)有了相應(yīng)的雛形了。
1592年伽利略受聘為兵工廠船舶設(shè)計(jì)的咨詢師時(shí)就曾說(shuō):“有可能會(huì)在什么地方遇到比例問(wèn)題?!边@可能是早在1592年就出現(xiàn)比例縮放思想的地方。從《兩門(mén)新科學(xué)》中還可以看到,雖然在造船廠Sagredo對(duì)于比例縮放不變性的失敗是驚訝的,但Salviati(在書(shū)中代表伽利略)卻不是很驚訝。他已經(jīng)明白,并立即準(zhǔn)備解釋這一切給Sagredo。Salviati的這番表達(dá)就是伽利略的思想,因?yàn)橘だ员救丝赡茉缫延辛艘恍┹^為成熟的比例縮放問(wèn)題的思考。這意味著我們必須從歷史上再往前去尋找比例縮放思想形成的時(shí)間,比如在伽利略的青年時(shí)代。
2.3關(guān)于但丁“地獄”的演講
青年時(shí)期的伽利略曾把他包含比例縮放思想的數(shù)學(xué)證明送到一些意大利數(shù)學(xué)家手里,希望得到一些肯定。他幸運(yùn)的得到托斯卡納大公御用巡視員Guidobaldo del Monte的幫助[7]。當(dāng)比薩大學(xué)的首席數(shù)學(xué)教授對(duì)外公開(kāi)招聘時(shí),時(shí)任紅衣主教的Guidobaldo del Monte安排伽利略于1588年去佛羅倫薩學(xué)院做了兩場(chǎng)數(shù)學(xué)方面的演講[8]。
在演講中,他出色地將數(shù)學(xué)與聽(tīng)眾喜歡聽(tīng)的但丁的“地獄”模型結(jié)合了起來(lái)。伽利略說(shuō):“地獄不可能那么大,覆蓋地獄的拱頂似乎不可能支持自身而不落下,假如地獄如此之高,那么拱頂必須非常薄。……如果連同海的深度是100英里的話,那么拱頂就需要非常厚,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)支撐自重的需要?!辟だ栽谠噲D描述一個(gè)地獄的模型,以約每100英里1布拉喬奧(古意大利的長(zhǎng)度單位,相當(dāng)于66或68厘米)厚的比例挖出一個(gè)空室為模型。一個(gè)正常的人的高度是3布拉喬奧,所以該模型顯示一個(gè)大的穹頂,有點(diǎn)小于佛羅倫薩大教堂著名的布魯內(nèi)萊斯基穹頂。就像伽利略所說(shuō),不到4布拉喬奧的厚度完美的支撐了自重。這是一個(gè)令人信服的參數(shù),但只是在認(rèn)為尺度不變的前提下才成立!如果按比例將其放大100000倍,仍然成立嗎? 絕對(duì)不是!這個(gè)升級(jí)版的模型實(shí)際上是脆弱的,受更多因素影響,會(huì)立即被自重壓垮的。3 結(jié)論
從伽利略在佛羅倫薩學(xué)院的演講到威尼斯兵工廠的實(shí)踐,再到《兩門(mén)新科學(xué)》的出版,可以看出:伽利略認(rèn)為自然不是比例縮放不變的,這是在充分考慮數(shù)學(xué)內(nèi)容和物理內(nèi)容的基礎(chǔ)上得出的結(jié)論。伽利略在比例縮放問(wèn)題上倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的方法,與他在《對(duì)話》中所提到的數(shù)學(xué)與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法相類(lèi)似。這是他在科學(xué)上取得偉大成就的源泉,也是他對(duì)近代科學(xué)的最重要貢獻(xiàn)[9]。
伽利略為什么遲遲不肯發(fā)表他的比例縮放思想的有關(guān)想法呢?這應(yīng)該是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,原因可能很多,其較為突出的原因之一是:在充滿辯論的文藝復(fù)興時(shí)代的歷史背景下,伽利略可能采取了“留一手”的策略。即對(duì)一個(gè)重要的理論成果保守秘密,直到需要它在辯論中進(jìn)行防守和自衛(wèi)。在有關(guān)浮體和地獄的辯論中,我們都可以看到伽利略的這種做法。另外,中年時(shí)期的伽利略可以說(shuō)是一位公眾人物,他頻繁接觸上流社會(huì),社交活動(dòng)頗多,他還進(jìn)行科學(xué)實(shí)驗(yàn),進(jìn)行天文研究等等,他有太多的事情要做。我們推斷比例縮放思想當(dāng)時(shí)并沒(méi)有受到他本人的重視,只是晚年受到宗教審判后,在有充分的時(shí)間進(jìn)行一生學(xué)術(shù)總結(jié)的情況下,才將比例縮放的內(nèi)容寫(xiě)進(jìn)了《兩門(mén)新科學(xué)》中。從書(shū)的內(nèi)容中也可以看出,伽利略對(duì)比例縮放內(nèi)容的不重視。因?yàn)槿珪?shū)從沒(méi)有將比例縮放的內(nèi)容作為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的命題進(jìn)行闡述,只是在其他命題的證明和解釋中,或多或少的提及比例縮放的內(nèi)容。從伽利略對(duì)比例縮放思想的態(tài)度和其比例縮放思想形成過(guò)程的研究來(lái)看,我們應(yīng)該從中得到啟發(fā),特別是在高端研究領(lǐng)域,要及時(shí)對(duì)自己的學(xué)術(shù)成果和思想進(jìn)行歸納和總結(jié),以展現(xiàn)科學(xué)研究和發(fā)現(xiàn)的價(jià)值。
《兩門(mén)新科學(xué)》介紹了在當(dāng)時(shí)屬于前沿的量綱分析的內(nèi)容,這其實(shí)就是伽利略關(guān)于比例縮放想法的表達(dá),而這些都來(lái)自于基本的物理學(xué)思想,目的是為了解決相關(guān)的物理問(wèn)題。在書(shū)中,他系統(tǒng)地利用了他那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)去解決物理問(wèn)題和論證新的物理定律,從而打開(kāi)了通向現(xiàn)代精密科學(xué)的大門(mén)[10]。眾所周知,重整化群理論就是在粒子物理研究中為克服微擾發(fā)散困難而進(jìn)行標(biāo)度變換,從而得到群不變性的一種理論[11]。所以通過(guò)對(duì)伽利略比例縮放思想的研究,我們可以認(rèn)為伽利略就是標(biāo)定度(或說(shuō)是比例縮放)這一領(lǐng)域的先驅(qū)。
參考文獻(xiàn)
[1]呂增建,科學(xué)史與科學(xué)文化[M].天津:南開(kāi)大學(xué)出版社,2013.3. p. 59.