身邊力學(xué)的趣話

蛇年話蛇行

劉延柱1)

（上海交通大學(xué)工程力學(xué)系？ 上海？ 200240）

 

今年是蛇年，有關(guān)蛇的話題更添談?wù)撆d趣。蛇無足而能行且行進(jìn)很快。這種獨(dú)特的行進(jìn)方式和蛇的生理構(gòu)造有關(guān)。蛇沒有胸骨，軀體可以自由彎曲。蛇全身披著一層角質(zhì)鱗片，肋骨向前移動可使腹部的鱗片翹起摩擦地面產(chǎn)生推進(jìn)力。關(guān)于蛇行的原理早在上世紀(jì)30年代就已有研究論文發(fā)表^[1]。近年來由于蛇形機(jī)器人技術(shù)的興起，對蛇行運(yùn)動的仿真研究和理論分析的文獻(xiàn)就更為豐富^[2,3]。
蛇最典型的行進(jìn)方式是蜿蜒運(yùn)動（圖1）。當(dāng)蛇頭左右擺動，帶動身體向兩側(cè)彎曲，形成一個類似正弦曲線的波形向后方傳播時，蛇身就能快速向前移動。根據(jù)動力學(xué)基本規(guī)律，蛇必須在外力推動下才能前行，這外力只能來自鱗片與地面的摩擦力。問題是側(cè)向滑動引起的側(cè)向摩擦力如何能產(chǎn)生向前的推動力，似有必要作些探討。

圖1 蛇的蜿蜒運(yùn)動

蛇的蜿蜒運(yùn)動過程也就是彈性波沿蛇身的傳播過程。在蛇形機(jī)器人的研究中，描述蛇身彎曲形狀的數(shù)學(xué)模型稱為蛇形曲線（Serpenoid curve）。以蛇的頭部O為原點(diǎn)，沿蛇身建立向尾部延伸的弧坐標(biāo)s，理想化的蛇形曲線是一條以s為自變量的正弦曲線^[3]
　　　　(1)
其中 為蛇身相對行進(jìn)方向的傾斜角，L為蛇身長度，k為諧波數(shù)。為分析蛇的行進(jìn)過程，建立隨O點(diǎn)平動的參考坐標(biāo)系(O-xy)。x軸沿行進(jìn)路線指向后方，與彈性波傳播方向一致，y軸為指向右側(cè)的水平軸。蛇在（x,y）坐標(biāo)系中的形狀可用式(1)的積分表示
？ 　　　　(2)
為使數(shù)學(xué)表達(dá)更簡明，也為表達(dá)蛇形曲線隨時間的變化過程，將蛇的蜿蜒運(yùn)動設(shè)想為沿x軸方向傳播的行波，表示為
　　　　　　　(3)
其中 =2 / ， 為沿軸傳播的波長， =2 /T，T為傳遞一個諧波的完成時間，也就是蛇身上同一點(diǎn)往復(fù)振動的周期。公式(2)和(3)都是對蛇形的近似描述，兩種曲線形狀相似而不完全相同，但公式(3)的數(shù)學(xué)處理要方便多了。
蛇利用側(cè)向滑動獲得向前推進(jìn)力的過程與冰上運(yùn)動有些相似。當(dāng)運(yùn)動員控制冰刀向兩側(cè)偏后方滑動時，冰面沿垂直刀刃方向的摩擦力會出現(xiàn)向前的分量推動運(yùn)動員前進(jìn)。因此要解釋蛇的前進(jìn)動力就必須考察蛇的側(cè)向滑動有沒有類似的現(xiàn)象。
令式(3)中保持不變對求偏導(dǎo)，得出蛇身上各點(diǎn)的側(cè)向滑動速度 (x,t)
為顯示滑動速度 沿蛇身的變化狀況，在軸的半波長 /2范圍內(nèi)，根據(jù)式(3),(4)畫出某個確定時刻，例如t=0時刻的蛇形曲線y(x)和速度曲線v(x)（圖2）。按正弦規(guī)律和余弦規(guī)律變化的這兩條曲線之間存在 /2相位差。在曲線的兩端位移為零，而蛇身相對軸的傾斜角和速度均達(dá)最大值。曲線中點(diǎn)的位移為最大值，而蛇身傾斜角和速度均為零?；瑒铀俣冗^中點(diǎn)后改變方向，在x的前半段區(qū)間(0, /4)內(nèi)，v(x)與y(x)異號，滑動速度與彎曲方向相逆；在后半段區(qū)間( /4, /2)內(nèi)，v(x)與y(x)同號，滑動速度與彎曲方向一致。其結(jié)果是在的兩個區(qū)間內(nèi)，與蛇身垂直的滑動速度分量都偏向蛇尾，與滑動方向相逆的摩擦力都指向蛇頭（圖3）。蛇身向左和向右交替向兩側(cè)滑動，如同冰上運(yùn)動員左右腳交替蹬冰的動作，摩擦力就能持續(xù)提供向前的動力。坐標(biāo)系(o-xy)隨蛇平動的牽連速度產(chǎn)生向后的摩擦阻力，當(dāng)向前與向后的摩擦力互相平衡時，蛇就處于勻速的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動狀態(tài)。于是蛇的側(cè)向蜿蜒運(yùn)動能產(chǎn)生前進(jìn)動力的問題就從物理概念上得到解釋。
由此可見，蛇無足而能行的特殊能力與位移和速度之間 /2的相位差有著密切聯(lián)系。需要補(bǔ)充的題外話是，在人類的科技實(shí)踐中，不乏利用運(yùn)動參數(shù)的相位差達(dá)到設(shè)計目的的例子。例如利用液體連通器內(nèi)液體的振蕩與容器擺動之間接近的相位差，以消除陀螺羅經(jīng)搖擺誤差的發(fā)明就是著名的成功案例。

參考文獻(xiàn)

1. 1. Mosauer W. On the locomotion of snakes. Science, 1932, 76(1982): 583-585


2. 2. Ma S, Araya H, Li L. Development of a creeping snake-robot. Int. J. Robotics & Automation, 2002,17(4): 146-153


3. 3. Hirose S, Yamada H. Snake-like robots. IEEE Robotics & Automation, 2009, March: 88-98

Talk on Creeping Locomotion of Snake in Snake-year

LIU Yanzhu

(ShanghaiJiaoTongUniversity, Shanghai 200240, China)

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