殼體簡史

孫博華

(半島科技大學(xué)工學(xué)院，南非)

 孫博華, 南非科學(xué)院院士. 主要研究復(fù)雜結(jié)構(gòu)、殼體力學(xué)和復(fù)雜流動等, 入選《2010年海外華人十大新聞人物》.

 

摘要

殼體可以簡單地看作成彎曲的板，它具有比較優(yōu)越的力學(xué)特性，本文簡單介紹了薄殼殼體和旋轉(zhuǎn)殼理論的發(fā)展歷史， 同時評述了殼體解析理論的復(fù)變量方法和位移場方法。

關(guān)鍵詞: 薄殼, 旋轉(zhuǎn)殼，柱殼，球殼，錐殼，環(huán)殼

Brief History of Shells

Sun Bohua

Cape Peninsular University of Technology，Cape Town, South Africa

 

Abstract

The shell structure can be simply viewed as a curved plate, the shell has some advanced feature of mechanics. The brief history of shells research has been presented. The thin shells and shells of revolution have been reviewed. The analytic approaches of complex-variable and displacement field have been discussed.

Keywords: thin shell, revaluation shell, cylindrical shell, circular shell, toroidal shell

一, 引言
人類在與自然的和諧共處中, 逐漸認識到利用各種不同形式的結(jié)構(gòu)可以承受各種不同的荷載, 或是跨越一定跨度的空間距離.人們首先認識到索和梁可以承載荷載, 逐漸又發(fā)現(xiàn)了柱,桁架,拱和其他結(jié)構(gòu)形式, 相應(yīng)的理論也逐步建立起來。

ranz Dischinger

由于人類對于工業(yè)的要求, 已有的結(jié)構(gòu)形式不能滿足大跨度,重荷載等方面的要求. 解決這些問題的一個途徑就是利用結(jié)構(gòu)的空間形式和性能. 殼體結(jié)構(gòu)就是其中一種優(yōu)越的空間結(jié)構(gòu)形式^[1-5]。

 

殼體的曲面特點具有十分優(yōu)越的力學(xué)性能，如果設(shè)計得合理可以以較小的厚度承擔(dān)起相當(dāng)大的載荷。在這方面它比平板要優(yōu)越的多，其所提供給設(shè)計者的優(yōu)越性大致可以以拱代梁相似。殼體的這種性質(zhì)使它可以用來制造很輕而又有足夠強度的結(jié)構(gòu)物，并使這類結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于飛機制造，船舶制造和鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的建造中. 殼體成為以重量小承載大結(jié)構(gòu)的一種最佳選擇形式。
現(xiàn)代把殼體作為承重結(jié)構(gòu)主要歸功于1900年開始的預(yù)應(yīng)力混凝土技術(shù)，經(jīng)過1900-25結(jié)構(gòu)理論的發(fā)展積累, 在德國出現(xiàn)了由Baursfield和Franz Dischinger （他是我國著名力學(xué)家張維先生的老師）設(shè)計的Zeiss-Dywidag薄殼結(jié)構(gòu)。這個時期也是殼體結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)理論走向技術(shù)或應(yīng)用理論的發(fā)展。 可以這樣說, 薄殼結(jié)構(gòu)大規(guī)模的應(yīng)用首先是從德國開始的^[1]。

二, 殼體理論的發(fā)展
彈性力學(xué)中所謂的“殼體”是指兩個曲面所包住的薄型物體，其曲面間的厚度較物體其他尺寸要小的多,生活中可以把殼體看出為彎曲的板. 距兩表面等距點的軌跡稱作“殼體的中面。在中面上任意點作垂線,垂線被曲面所截割的一段長度被定義為殼的“厚度”。一般來說厚度可以是變量，等厚度的殼體在實際中最常見。中面、厚度及邊線合起來完全決定了殼體的幾何形狀。作為彈性力學(xué)的一個分支，殼體理論的任務(wù)就是研究殼體在已知載荷作用之下的變形^[2,4]。

經(jīng)典平板理論有兩種解決問題的主要辦法。第一種方法是A.Cauchy和S.Poisson提出的，第二種方法K.Kirchhoff提出的。A.Cauchy和S.Poisson的方法的基礎(chǔ)是把板的所有位移和應(yīng)力展成z（從板中面到點的距離）的級數(shù)。在這種級數(shù)中保留盡可能少的項，就可得Sophie Germain方程(她受到德國Gauss的影響)，保留較多的項就能隨之得到較精確的平板理論。最后若在級數(shù)中保留無窮大項，就會得到精確解。A.Cauchy和S.Poisson的方法是平板理論的一般方法^[2,3,4,5]。

Kirchhoff

Kirchhoff所提出的平板理論由于物理概念明確,很快就得到了公認并一直使用。Kirchhoff采用了類似直梁理論中的一些假定，他的假定可歸納為下列幾點：a）變形前垂直于中面的直線在變形后還是直的，并與撓曲了的中面垂直，而且其長度不變。b）平行于中面的面素上的法向應(yīng)力與其他應(yīng)力相比較可以忽略^[2,3,4,5]。
Kirchhoff提出的板模型比A.Cauchy和S.Poisson的優(yōu)越，因它有更大的直觀性和明確的物理概念：理論的基礎(chǔ)是一種簡化，這種簡化具有明確的物理意義，并且十分明顯的繼承了為實驗所驗證的彎曲理論。引進了內(nèi)力和內(nèi)矩的概念使平板理論和梁的理論更加接近，并且最后明確了平板的邊界條件問題^[4,5]。
Navier研究了旋轉(zhuǎn)薄膜殼體問題. 1833年Lam 和Clapeyron計算了球殼在內(nèi)壓和外壓下的應(yīng)力和變形問題, Lam 于1854年又完成了在任意分布荷載下的球殼變形屆. 以克希霍夫Kirchhoff的假定為基礎(chǔ)的殼體靜力和動力理論最早由Hermann Aron (1845-1913)于1873年試圖建立起來。不過他的推導(dǎo)有些不準(zhǔn)確性，在14年后A.Love給予糾正, 并收錄到他的名著A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity中, Love導(dǎo)出了在最后形式上與克?；舴虻钠桨謇碚撓嗨频臍んw理論。幾乎在同一時期, 諾貝爾獎獲得者Lord Rayleigh也獨立發(fā)表了有關(guān)殼體理論的論文, 并記錄在其著名著作Theory of Sound中。
Love殼體理論推導(dǎo)有缺點,即他對待微小量前后不一致：一部分微量被保留下來，而另一部分同樣的微小量卻被棄掉。在殼體理論中應(yīng)如何寫出內(nèi)力，力矩與中面變形之間的相互關(guān)系沒有明確, 以致造成這一理論的方程在很長時間內(nèi)沒有標(biāo)準(zhǔn)寫法。1890年Sir Horace Lamb使用新的符號改進了Love殼體有關(guān)公式使得殼體理論可以讓工程師接受^[4,5]。
在殼體的內(nèi)蘊或內(nèi)稟(Intrinsic)理論中^[6-9], 不使用位移作為未知量, 而使用度規(guī)的變化(即中面拉伸變形)和曲率的變化(即彎曲變形)作為未知量, 殼體的內(nèi)稟理論和變形協(xié)調(diào)關(guān)系是Lure(1940)完成, 同時Synge和錢偉長(1941-1944)^[6]也獨立完成內(nèi)稟理論, Synge-錢的理論更加系統(tǒng)和有知名度. 錢偉長^[6-9]在微觀分析中采用了一種全新的坐標(biāo)系——以中面為基礎(chǔ)的拖帶坐標(biāo)系(co-moving coordinates),引進了中面的拉伸變形張量和彎曲變形張量共六個未知量是內(nèi)稟理論的基本未知量. 基本未知量滿足的三個相容方程可由曲率張量滿足的條件得到，而另外三個方程是平衡微分方程，從而形成完整的張量方程式。所提出的內(nèi)稟理論適合于各種不同的坐標(biāo)系及各種不同形狀的薄殼和薄板問題。根據(jù)板殼特征尺度與曲率半徑之比及其與相對厚度的關(guān)系，對薄板薄殼進行詳盡細致的分類。錢偉長^[7-9]確定了12類薄板問題和35類薄殼問題，均用六個方程（三個平衡方程、三個協(xié)調(diào)方程）加以描述，這些方程涵蓋了常見的小撓度方程以及一些已知的大撓度方程。
應(yīng)當(dāng)指出, 由于殼體的內(nèi)蘊或內(nèi)稟理論不使用位移作為未知量, 而使用度規(guī)的變化(即中面拉伸變形)和曲率的變化(即彎曲變形)作為未知量, 這對于理論分析比較有用, 但由于實際問題因為一般都要計算位移和利用邊界條件, 而內(nèi)稟理論就很難用度規(guī)的變化(即中面拉伸變形)和曲率的變化來表達邊界條件, 這可能是內(nèi)稟理論后來沒有得到應(yīng)用的一個原因.
對殼體理論協(xié)調(diào)條件的是由Goldenveizer(1939)^[10]完成，他第一次表達了殼體小變形的線性連續(xù)條件或稱變形協(xié)調(diào)條件.非線性協(xié)調(diào)方程是由Galimov(1953)導(dǎo)出, 并于1966年由Koiter改正. 從微分幾何的角度看, 變形協(xié)調(diào)條件本質(zhì)就是變形后曲面的高斯-科達奇(Gauss-Godazzi)條件或者說是殼體變形的Riemann張量為零的條件。
1934年德國的Wilhelm Fl gge 出版了有關(guān)殼體的第一部專著 Statik und Dynamik der Schalen^[2] (殼體的靜力學(xué)和動力學(xué)). 荷蘭W. T. Koiter (1945)建立了殼體的線性一致理論和非線性殼體理論, 但由于使用荷蘭語發(fā)表到了很晚才被知道. 1949年Zerna建立以位移為未知量的殼體彎曲理論, 后來他與A.E.Green合作使用張量系統(tǒng)導(dǎo)出殼體一般理論。

著名力學(xué)家，世界第一部殼體專著的作者W.Fl gge曾說：“在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域中，張量分析最精彩的應(yīng)用之一是殼體一般理論?！?sup>[2] 而殼體理論的建立需要曲面的一般理論。

德國學(xué)者在完成薄殼理論方面起到關(guān)鍵性的作用, 主要是由于二個方面的原因. 一是因為德國學(xué)者Kirschhoff物理上提出了能反映殼體變形本質(zhì)的假設(shè), 即變形前的直法線在變形后為直線。這個力學(xué)假設(shè)較好的反映了薄殼的變形本質(zhì), 極大的簡化了問題的力學(xué)模型; 第二個原因是殼體模型需要的微分幾何已經(jīng)由德國數(shù)學(xué)家構(gòu)造好了. Kirchhoff的老師高斯(Gauss )以及高斯的學(xué)生黎曼(Riemann)完成了曲面理論. 殼體由于是曲面, 要建立它的力學(xué)就必須首先建立曲面上的幾何學(xué), 這些數(shù)學(xué)工具都由Kirchhoff的老師高斯和同學(xué)黎曼準(zhǔn)備好了。

J.C. Gauss

殼體按幾何形式可以各種各樣有比較一般的旋轉(zhuǎn)殼，常用的有球殼、柱殼、錐殼、環(huán)殼和拋物旋轉(zhuǎn)殼。球殼和柱殼由于其曲率是常數(shù)比較容易求解。錐殼^[11，12]、拋物旋轉(zhuǎn)殼^[13]和環(huán)殼^[14]的曲率是變的,問題比較難處理。

？

三, 旋轉(zhuǎn)殼的研究
德國學(xué)者Hans Reissner對球形殼體計算首先取得重大的成就,H. Reissner把描述這種殼體對稱變形的微分方程轉(zhuǎn)化為簡便的形式，隨后Blumenthal (1913)幫助Reissner利用漸進法求解了方程。那時Hans Reissner發(fā)現(xiàn)了有可能用復(fù)數(shù)變換的方法降低該問題的微分方程的階次，把受對稱載荷的球形殼體的計算歸結(jié)為積分一個不超過二階的微分方程。緊隨著，蘇黎世的Eric Meissner就把上述結(jié)果成功地推廣到任意形狀的（甚至變厚度的）旋轉(zhuǎn)殼體的對稱變形上去^[2,4,5]. 德國-蘇黎世學(xué)派的這些結(jié)果不便于實際應(yīng)用,他們的精確解通常是用超越幾何級數(shù)表示, 在當(dāng)時計算超越幾何級數(shù)是件非常困難的事。

Hans Reissner

旋轉(zhuǎn)殼體對稱變形方程（基于忽略量級等于及高于的各項，h 是殼體厚度，R是殼體特征曲率）的近似積分方法是J. Geckeler(1926)提出, 用疊加無矩方程解與所謂“邊緣效應(yīng)”方程的解^[2,4,5].
受非對稱載荷的旋轉(zhuǎn)殼體的計算要比較復(fù)雜,其中最重要的是“風(fēng)型”反對稱載荷。對于球形殼體，這種問題曾在E.Schwerin (1919)的學(xué)位論文中得到解決，他按照自己的老師Meissner和Hans Reissner把微分方程加以變換，力求獲得在給定情況下收斂得好的超級幾何級數(shù)形式的解，發(fā)現(xiàn)了兩個直接積分以及復(fù)數(shù)變換的可能性. Novozhilov^[5]把復(fù)變量方法推廣到任意形狀的旋轉(zhuǎn)殼體。當(dāng)殼體理論方程寫成復(fù)數(shù)形式時其階數(shù)降低一倍，復(fù)數(shù)形式的旋轉(zhuǎn)殼體方程可歸結(jié)為二個變量（復(fù)數(shù)輔助函數(shù)）的方程組。
將殼體方程化成復(fù)數(shù)形式是有條件的, 條件是：1. 殼體中曲面的變形協(xié)調(diào)方程與殼體元素的平衡方程是完全對稱的，即存在靜力一幾何相似；2. 復(fù)數(shù)變換在內(nèi)力一力矩和中曲面的變形間的關(guān)系，即本構(gòu)關(guān)系具有一定形式才能進行。由于將殼體方程化成復(fù)數(shù)形式的方程應(yīng)具備以上兩個條件，就使得這種方法具有一定的適用范圍，它只能用來處理等厚度環(huán)殼的彎曲問題, 它不能一般的推廣到變厚度殼和各向異性殼上，它不能用于殼體動力學(xué)問題以及殼體的穩(wěn)定性問題，在殼體的非線形理論中也沒有復(fù)變量變換。就是說在一般情況下不存在靜力一幾何相似, 也就是說沒有可能通過引入復(fù)變量將平衡方程與變形協(xié)調(diào)方程合并^[2,4,5]。

三、有關(guān)殼體解析理論的復(fù)變量方法^[5]和位移場方法
一般情況下殼體的主曲率不是常數(shù)而是變數(shù),這樣中面的應(yīng)變和曲率變化都是變系數(shù)的，最終導(dǎo)致控制方程都是變系數(shù)的，非常難于求解。為了解決求解的難題，百年以來國際上一直使用力復(fù)變量方法將彎曲問題的方程簡化降階，所得結(jié)果的待定常數(shù)對于只有力學(xué)邊界條件的問題比較好確定，但對于有位移邊界條件的問題就非常難于確定，因為這時求解位移一般還需要積分過程而復(fù)雜函數(shù)的精確積分一般很難求得，所以一方面通過引入力復(fù)變量簡化了方程得到了解但在求解位移時的積分難度又將前面簡化的勞動成果抵消了許多，甚至有些函數(shù)的積分根本就得不到解析表達而不得不使用數(shù)值方法。另外一個本質(zhì)缺陷是這種引入復(fù)變量的方法只能用來處理彎曲問題，不能用來處理振動和屈曲特征值問題，因為可以引入復(fù)變量的靜力－幾何比擬條件對特征值問題一般是不成立的。所以一般的處理殼體問題使用位移場作為基本變量是最受歡迎的，其優(yōu)點是在求得位移場后使用微分就可以求得應(yīng)變場，微分運算比積分要容易的多，同時位移場方法可以統(tǒng)一的處理靜力、動力和屈曲問題。雖然位移場方法有以上優(yōu)點但其缺點是方程組更為復(fù)雜更難求解，所以自有殼體理論以來，除了等厚度園柱殼有位移場解外，殼體理論發(fā)展的百年來以來都沒有錐殼和環(huán)殼等的任何位移場解，直到近年來才有[12](1989)給出了扁錐殼位移場，[13]（1996）給出拋物旋轉(zhuǎn)殼體的位移場[14]（2010）]給出細環(huán)殼位移場，。但是,對于非扁的殼體即深殼體,如何求其位移場解是殼體理論建立以來一直存在的數(shù)學(xué)難題。

致謝
本人感謝碩士導(dǎo)師黃義教授把我引進殼體領(lǐng)域特別是錐殼的研究，感謝博士導(dǎo)師葉開沅教授引導(dǎo)我從事非線性力學(xué)和組合結(jié)構(gòu)的研究，感謝博士后導(dǎo)師張維院士引導(dǎo)我從事環(huán)殼等方面的研究。 愿以此文特別懷念張維和葉開沅二位先生.

參考文獻

[1]？？？ 張維，殼體結(jié)構(gòu)概論，北京力學(xué)會，北京,1962年。

[2]？？？ Fl gge ？W, Statik und Dynamik der Schalen, Spinger-Verlag, Berlin，1938.

[3]？？？ Timoshenko, S.P., History of Strength of Materials, McGraw-Hill Publishing Co., New York, 1953.

[4]？？？ Love, A H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, University of Cambridge, Cambridge, 1988.
[5]？？？ Novozhilov, V.V., The Theory of Thin Shells, Noordhoff, Groningen, The Netherlands, 1959.

[6]？？？ J.L.Synge and W.Z. Chien(錢偉長), The intrinsic theory of elastic shells and plates, Applied Mechanics, Theodore von Karman Anniversary Volume, 1941, 103-120.

[7]？？？ Chien Wei-zang(錢偉長), The intrinsic theory of thin shells and plates, Part I - General theory, Quarterly of Applied Mathematics, 1944,1(4), 297-327.

[8]？？？ Chien Wei-zang(錢偉長), The intrinsic theory of thin shells and plates, Part II - Application to thin plates, Quarterl